Die Mathe-Redaktion - 20.05.2013 07:46
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    Autor
    Kein bestimmter Bereich Halbkreis im Dreieck
    Erdnusszwerg
    Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
    Dabei seit: 27.10.2002
    Mitteilungen: 153
    Aus: NRW
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2003-11-14 20:08


    Hi!

    Gegeben ist ein Halbkreis mit Radius r. Ein rechtwinkliges Dreieck liegt so, daß der Halbkreisdurchmesser auf die Hypotenuse des Dreiecks fällt und die Katheten den Halbkreis berühren. Der Flächeninhalt des Dreiecks soll ein Minimum annehmen.

    Ist nicht für mich ;)

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    Eckard
    Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
    Dabei seit: 14.10.2002
    Mitteilungen: 6815
    Aus: Magdeburg
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2003-11-14 20:25


    Hi ENZ,

    aber ein Bild hast du dir gemacht, oder? Wenn nicht, hole es bitte nach.

    Dann siehst du, wenn du die Verbindungsstrecken vom Mittelpunkt des Kreises zu den Berührungspunkten mit den Katheten ziehst, dass das rechtwinklige Dreieck in ein Quadrat und zwei zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke zerfällt. Letztere beide haben außer r noch die Kathetenlängen b-r und a-r, wenn a und b die Kathetenlängen des großen Dreiecks sind. Also gilt (wegen der Ähnlichkeit)
    fed-Code einblenden
    a*b ist aber zu minimieren (gleich der doppelten Dreiecksfläche).
    Nach der AM-GM-Ungleichung gilt aber stets:
    fed-Code einblenden
    Also beträgt die minimale Dreiecksfläche 2*r^2 und wird genau dann erreicht, wenn a=b ist. q.e.d

    Gruß Eckard


    -----------------
    Save the Whales -- Harpoon a Honda.

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