Zu zeigen ist, dass ((a_n))_(n \el \IN)=(n^3+2n)/(3n^3-6) für n->\inf gegen a=1/3 konvergiert - und dies nur mit der Definition des Grenzwertes (...also ohne spezielle Rechenregeln wie L'Hopital oder Ausklammern der größten Potenz, Grenzwertrechengesetze, etc.).

Zu zeigen ist:
\forall \epsilon>0 \exists n_0 \el \IN \forall n>=n_0 : abs(a_n-a)<\e
<=>\forall \epsilon>0 \exists n_0 \el \IN \forall n>=n_0 : abs((n^3+2n)/(3n^3-6)-1/3)<\e

Da würde ich zunächst einige Umformungen vornehmen:
abs((n^3+2n)/(3n^3-6)-1/3)=abs((n^3+2n)/(3*(n^3-2))-1/3)=1/3*abs((n^3+2n)/(n^3-2)-1)=1/3*abs((2n+2)/(n^3-2))=2/3*abs((n+1)/(n^3-2))
Der Term in den Betragsstrichen ist für hinreichend große n (ich glaube, bereits n>=2 reicht) stets positiv, sodass man bei der Grenzwertbildung die Betragsstriche weglassen kann.
Wir suchen folglich einen Index n_0 in Abhängigkeit von \e ,sodass
2/3*(n_0+1)/((n_0)^3-2)<\e
Das ganze würde ja zu einer kubischen Gleichung führen, die mitunter drei Lösungen haben kann. Bin ich auf dem richtigen Weg oder geht das noch eleganter bzw. ganz anders?

Hi Undertaker
Bis 
2/3*(n_0+1)/((n_0)^3-2)<\e 
sieht es nach kurzem Überfliegen sehr gut aus. Nutze jetzt aus, dass du ja nicht das genaue n_0 brauchst, ab dem die Epsilon-Bedingung erfüllt ist und versuche, sowohl Zähler als auch Nenner gut abzuschätzen.

Hilft das weiter?
Gruß Yves

2/3*(n_0+1)/((n_0)^3-2)<(n_0+1)/((n_0)^3-2)<1/((n_0)^3-2)<1/(n_0-2)
Nun soll 1/(n_0-2) kleiner als \e sein. Also:
1/(n_0-2)<\e <=> 1<n_0*\e-2\e <=> n_0>(1+2\e)/\e

Also ist für alle n>=n_0 das jeweilige Glied a_n in der \e-Umgebung von a=1/3, somit ist a Grenzwert der Folge.

Ist das so in Ordnung oder müsste ich streng genommen die Beweisrichtung umdrehen und beginnen mit: Sei \e=.... und dann so gesehen rückwärts umformen?

Würde deine Argumentation stimmen wäre die Beweisrichtung ok. Man gibt ein Epsilon vor und bestimmt dann ein n_0 so dass die in der Definition geforderte Abschätzung gilt. 
Leider ist das hier nicht korrekt:
(n_0+1)/((n_0)^3-2)<1/((n_0)^3-2)

(n_0+1)/((n_0)^3-2)<(n_0+1)/((n_0)^3-4)<(n_0+2)/((n_0)^3-4)<(n_0+2)/((n_0)^2-4)=1/(n_0-2)
Nun soll
1/(n_0-2)<\e sein, also erhalte ich zufälligerweise erneut n_0>(2+\e)/\e als mögliche Abschätzung.

n_0>(2+\e)/\e

n_0>(1+2\e)/\e

Hallo, verwende doch, dass für n>=2 gilt:
2/3*(n+1)/(n^3-2)<=2/3*1/n
Viele Grüße,Sonnhard.

Hallo Sonnhard,
war mein letzter Beitrag etwa wieder falsch oder soll ich deinen Hinweis nur als Alternative auffassen, schließlich wird man ja i.A. nie das exakte n_0 finden, sondern da führen immer viele Wege nach Rom.