Hallo Mathiis,

Existiert der Grenzwert? Falls ja, wie lautet er?
1. lim(x->\1,(x^2 -2x +1)/(x^2 +x -2))

hmmm... ich würde ja gerne mal wissen, ob ich das \epsilon von abs(x) abhängig machen darf, solange abs(x)!=0. Finde jetzt nichts, was dagegen spräche. Also ordentlich aufgeschrieben, so:

Ich forme trivial um und habe
f(x)=(x-1)/(x+2), x!=1, x!=-2

Jezt meine Beh.:

lim(x->\1,(x-1)/(x+2))=0


Bew.:
Sei \epsilon>0. Wegen x!=-2 gilt dann mit \delta:<=\epsilon abs(x+2):
0<abs(x-1)<\delta => abs((x-1)/(x+2) -0) = abs(x-1)/abs(x+2) < \delta/(abs(x+2)) <= (\epsilon abs(x+2))/(abs(x+2)) = \epsilon.
Damit müsste der Beweis ja eigentlich stehen, sieht mir aber irgendwie spanisch aus, und die anfängliche Vereinfachung war auch nirgends von Vorteil...

Danke und Grüße
kannnichrechnen
 

(x^2 -2x +1)/(x^2 +x -2)=(x-1)^2/((x-1)*(x+2))=(x-1)/(x+2)
und jetzt den Grenzübergang für x->1 durchführen.

Also, Grenzübergang durchführen. Und wie?

lim(x->\1,(x-1)/(x+2)) = 0/3 = 0 ?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass das so nicht da stehen soll. Ich muss zu jedem \epsilon>0 ein \delta>0 finden, so dass aus abs(x-1)<\delta auf jeden Fall immer abs(f(X)-0)< \epsilon folgt.

Wie könnte dieses \delta hier vernünftig aussehen? 

ja (x-1)/(x+2) -> 0 für x->1.

Was passiert denn, wenn man

lim(x->1,sqrt(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)) berechnen will?

Habe mir mal überlegt, dass mein obiger Ansatz Unsinn ist.
 \epsilon ist zwar größer Null beliebig, aber doch wohl fest.

D. h. \delta=\delta(\epsilon), und \epsilon!=\epsilon(x)

Ich kriege das abs(x+2) im Nenner nicht ''weggeschätzt''. Au jeden Fall folgt aus abs(x-1)<\delta , dass abs(x)<\delta+1. Und was heist das für abs(x+2)?

Hallo Chris,

nach kurzer Umformerei sollte dann für die 2. Aufgabe da stehen:

lim(x->\1,sqrt(x^2 -2x +1)/(x^2 +x -2) = lim(x->\1,(sqrt((x-1)^2))/(x^2 +x -2)) = lim(x->\1,(x-1)/(x^2 +x -2)) = lim(x->\1, 1/(x+2),

natürlich unter den Berücksichtigung der nicht definierten Stellen im Def. Ber. -2 und 1.

Also müsste sein: 

lim(x->\1,1/(x+2))=1/(1+2) = 1/3.


Doch Vorsicht!

Das ist der rechtsseitige Grenzwert! Der linksseitige ist nämlich -1/3 Die blöde Funktion macht da einen Sprung von - nach Plus 1/3

Vielleicht hilft uns hier ja jemand, das auch verbünftig zu Papier zu bringen, morgen müssen wir nämlich abgeben...

gruß kannnsi