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Gegeben sei eine Fresnel'sche Zonenplatte, die aus N Kreisringen mit äußeren bzw. inneren Radien \rho_i=sqrt(i*\lambda f) besteht (vgl.Skizze). Gestrichelte Zonenringe sind lichtundurchlässig. Im Abstand r_0 vor der Platte befindet isch eine Lichtquelle Q, die Licht der Wellenlänge \lambda abstrahlt.

Skizze(Leider nicht so schön geworden:)):

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Berechne mit Hilfe des Kirchhof'schen Beugungsintegrals

E(r^>)= -i Ak/4\pi (r^>_0 *n^> /r_0 -r^> * n^> /r) exp(ikr)/r exp(ikr_0)/r_0 int(exp(-ik\phi(x',y')),f',Öffnung)

die Amplitude E(r^>) der gebeugten Welle im Punkt P. Da sowohl Q, als auch P aufder z-Achse liegen, gilt

r^>_0 *n^> /r_0 =-r^> * n^> /r =1 und \phi(x',y')=-(1/r + 1/r_0) (x'^2+y'^2)/2

hier sollte man die Integration in Polarkoordianten durchführen.

So habe ich nun angefangen:

Ich muss hier über alle Öffnungen summieren, also:


E(r^>)= B sum(int(\rho ' exp(ik(1/r + 1/r_0) (\rho '^2)/2 ), \rho ',\rho_(2n+1),\rho_(2n+2)),n=0,N)*int(1,\phi ',0,2\pi)

Mit:

x'^2+y'^2 =\rho '^2 und df' = d\rho ' d\phi ' \rho '

Ist meine Vorgehensweise richtig?

Wenn ja, weiß ich leider nicht, wie ich die Integration ausführen soll, falls es alles Richtig ist :)

Kann hier bitte jemand weiter helfen?

Grüße

ich habe Dein Beugungsintegral im Detail nicht überprüft, aber es schaut vernünftig aus, was Du gemacht hast.

Wie kommt die Funktion \phi(x',y') zustande, war die vorgegeben oder stammt sie von Dir?

Das Integral läßt sich geschlossen lösen, substituiere

z=\rho\.'^2

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Die Funktion \phi(x',y') war vorgegeben :)

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E(r^>)= B sum(int(\rho ' exp(ik(1/r + 1/r_0) (\rho '^2)/2 ), \rho ',\rho_(2n+1),\rho_(2n+2)),n=0,N)*int(1,\phi ',0,2\pi)

Sei a:=1/2 k (1/r +1/r_0) und b=a*\lambda f

Integration durch Substitution:

Setze \rho '^2 =z, es folgt:

E(r^>)= B sum(1/2 int( exp(i a z),z,(\rho '_(2n+1))^2,(\rho '_(2n+2))^2),n=0,N)*2\pi

(\rho '_(2n+1))^2 , heißt zum quadrat.

Mit \rho_i=sqrt(i*\lambda f) egibt das:

E(r^>)= B sum(1/2* int(exp(i a z),z,(2n+1)*\lambda f,(2n+2)*\lambda f),n=0,N)*2\pi

Integral ausegwertet ergibt das:

E(r^>)= B sum(1/2* 1/ia * [ exp(ia(2n+2)\lambda f) - exp(ia(2n+1)\lambda f) ],n=0,N)*2\pi =

E(r^>)= B *1/2*2\pi 1/ia *sum([ exp(ia(2n+2)\lambda f) - exp(ia(2n+1)\lambda f) ],n=0,N)

mit B *1/2*2\pi 1/ia =:C

Hier habe ich nun etwas umgeschrieben und erhalte:

E(r^>)= C *sum(exp(ia(2n+2)\lambda f),n=0,N) -C *sum(exp(ia(2n+1)\lambda f),n=0,N)=

E(r^>)= C *exp(2ia\lambda f) sum(exp(ia2n\lambda f),n=0,N) -C *exp(ia\lambda f) sum(exp(ia2n \lambda f),n=0,N)

Das sieht für mich nach einer geometrischen Reihe, also erhalte ich:

E(r^>)= C *exp(2ia\lambda f)* (1-exp(2iaf\lambda *(N+1)))/(1-exp(2ia\lambda f)) -C *exp(ia\lambda f)*(1-exp(2iaf\lambda *(N+1)))/(1-exp(2ia\lambda f))

Setze b=a*\lambda f und zusammengefasst ergibt das:

E(r^>)= C *exp(2ib)* (1-exp(2ib*(N+1)))/(1-exp(2ib)) -C *exp(ib)*(1-exp(2ib *(N+1)))/(1-exp(2ib))=
C exp(ib) *(1-exp(2ib*(N+1)))/(1-exp(2ib)) *(exp(ib)-1)

Ich hoffe bis hierhin war es richtig:)

Des weiteren muss ich noch folgendes ausrechnen:

a)Für welche Abstände r ergben sich Maxima von abs(E^>(r^>))^2

Zeige, dass deise Abstände r und der Abstand r_0 eine Linsengleichung mit Brennweite f erfüllen.

b) Berehcne die Intensität

I(r^>)= \epsilon_0 c /2 abs(E^>(r^>))^2 für die in a) bestimmten Abstände (entspricht Bildpunkte)

Zu a)

abs(E^>(r^>))^2=(C exp(ib) *(1-exp(2ib*(N+1)))/(1-exp(2ib)) *(exp(ib)-1))*(C^- exp(-ib) *(1-exp(-2ib*(N+1)))/(1-exp(-2ib)) *(exp(-ib)-1))

Ausmultipliziert erhalte ich:

abs(E^>(r^>))^2=abs(C)^2 (2-exp(ib)-exp(-ib)) *(1-exp(-2ib*(N+1))-exp(2ib*(N+1))+1)/(1-exp(-2ib)-exp(2ib)+1)

Zusammengefasst erhalte ich:

abs(E^>(r^>))^2=-abs(C)^2 *(-2+2*cos(b))* ((-2+2cos(2b(N+1)))/(-2+2*cos(2b)))=

-abs(C)^2 *((4-4cos(2b(N+1))-4cos(b)+4cos(b)*cos(2b(N+1)))/(-2+2*cos(2b))=

abs(C)^2 *2*((1-cos(2b(N+1))-cos(b)+cos(b)*cos(2b(N+1)))/(1-cos(2b))

Wenn ich nun mein C entsprechend ausschreibe und den Hinweis ausnutze, dass r^>_0 *n^> /r_0 =-r^> * n^> /r =1 (alaso, dass (r^>_0 *n^> /r_0 -r^> * n^> /r)= 2) erhalte ich:

abs(E^>(r^>))^2=\pi^2 abs(A)^2 k^2 / 16\pi^2 *1/(r^2 r_0^2)*2*((1-cos(2b(N+1))-cos(b)+cos(b)*cos(2b(N+1)))/(1-cos(2b))

Mein b ist ja gleich a*\lambda f und somit b=1/2 k (1/r +1/r_0) \lambda f , wie soll ich hier eigentlich den Maximum bestimmen, hier kommeich nicht weiter, vielleicht hab ich irgendwo oben einen Fehler gemacht,hmm...
Wer hat einbissel Zeit und könnte hier meine Rechnung anschauen :) ?

Grüße

Drop