Beweis oder Gegenbeispiel!

1.
f,g,h : \IR->\IR Funktionen mit f(x) <= g(x) <= h(x) für alle x\el\ \IR.
Wenn lim(x->\inf, f(x)) und lim(x->\inf, h(x)) existieren, dann auch lim(x->\inf, g(x) und es gilt

lim(x->\inf,f(x)) <= lim(x->\inf,g(x)) <= lim(x->\inf, h(x))


Also das Sandwich-Lemma gilt für Folgen, aber vorausgesetzt muss doch auch werden, dass L:= lim(x->\inf,f(x)=lim(x->\inf,h(x) gilt.

Das ist hier aber nicht der Fall, insofern denke ich nicht, dass es stimmt?

Ja, natürlich die Gleichheit muss vorausgesetzt werden, sonst ist es falsch. Das sieht man etwa am Beispiel -1<=sin<=+1. Die Limites der konstanten Funktionen existieren selbstverständlich. Der Limes lim(x\to\inf,sin(x)) existiert hingegen nicht.

2. Dasselbe wie oben nur mit vorausgesetzter Gleichheit. Den Beweis führe ich dann wohl auf Folgen zurück ?

3. Es seien g,h : \IR -> \IR wachsende Funktionen mit g(x) <= h(x) für alle x\el\ \IR.
Wenn lim(x->\inf, h(x)) existiert, dann auch lim(x->\inf,g(x)) und es gilt lim(x->\inf, g(x) <= lim(x->\inf, h(x))


So, da die Einschränkung wachsende Funktionen zusätzlich gegeben ist, müsste dies eigentlich stimmen.

-- edit: schwachsinniger Beweisversuch --

Ja, wenn lim(x\to\inf,f(x))=lim(x\to\inf,h(x)) vorausgesetzt wird, kann man den Beweis auf das Folgen\-Sandwich\-Lemma zurückführen \(wurde vor kurzem auch gerade hier im Forum vorgeführt\).

Es heißt ja, wenn der Grenzwert von h(x) existiert.

Also sei \lambda := lim(x->\inf,h(x)

Da h(x) wachsend, folgt: h(x) <= \lambda
Weil g(x) <=h(x)<= \lambda und ebenfalls wachsend, müsste ja grob gesagt eigentlich lim(x->\inf,g(x)) ungefähr h(x) sein, woraus die Behauptung folgt.

h(x) wachsend und lim(x->\inf, h(x)) existiert

=> 1)h(x) <= lim(x->\inf,h(x))

g(x) ist wachsend und durch h(x) beschränkt.

=> 2) lim(x->\inf, g(x)) existiert.

aus 1) und 2) folgt: lim(x->\inf, g(x)) <= lim(x->\inf, h(x))