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Stellen wir uns einmal array(empirisch)__ ein Polynom in der Unbestimmtenmenge X := menge(x_1\,x_2\,x_3) vor, etwa
 
\red Frage1: Ist X immer endlich? \red

3 x_1^2 x_2 - 4 x_2 x_3^3 + 2
 
Das sieht doch alles ziemlich durcheinander aus. Wenn man sich das einmal anders aufschreibt, erkennt man schon mehr die Struktur dieses Polynoms:
 
3(x_1^2 x_2^1 x_3^0)+(-4)(x_1^0 x_2^1 x_3^3)+2(x_1^0 x_2^0 x_3^0)
 
Hier hat man also Summanden der Form x_1^i x_2^j x_3^k, die wir zu einer Menge Y zusammenfassen können, denen jeweils noch ein Wert zugewiesen wird. Jedes x_0^i x_1^j x_2^k wird nun durch eine Abbildung von X nach \IN modelliert. Beispielsweise stellt x_1^2 x_2^1 x_3^0 die durch f(x_i)=fdef(2,i=1;1,i=2;0,i=3) definierte Abbildung X nach \IN dar.

Wenn wir aber schon mal im voraus an unendliche X denken, dann müssen wir beachten, dass nur endlich viele Unbestimmte bei einer solchen Abbildung vorkommen, d.h. dass ihr Bild von 0 verschieden ist. Wir fassen nun alle solche Abbildungen zu einer Menge Y zusammen. Bei einem Polynom wird jeder Abbildung in Y noch ein Wert zugewiesen, aber wieder nur endlich viele von 0 verschiedene. Das heißt, dass Polynome selbst Abbildungen von Y nach der zugrunde liegenden Zahlenmenge sind, wobei aber nur endlich viele Elemente Y ein von 0 verschiedenes Bild haben. 
\red Warum ist bei einer Abbildung mit endlichem Definitionsbereich das Bild automatisch nicht 0? \red

Unser Beispielpolynom wird also durch 

p(y)=fdef(3,y=x_1^2 x_2^1 x_3^0;-4,y=x_1^0 x_2^1 x_3^3;2,y=x_1^0 x_2^0 x_3^0;0,sonst)

\red Das Polynom ist also eine Abbildung die jeder Funktion in [X] noch einen entsprechenden Koeffizienten aus dem Grundring zuordnet.\red

erklärt. Jetzt steht uns der allgemeinen Definition von Polynomen nichts mehr im Wege. 

Der \blue\Träger \black\einer Abbildung ist ganz allgemein die Menge der Elemente des Definitionsbereiches, die nicht auf eine 0 des Zielbereichs
abgebildet werden.
 
Sei X eine beliebige Menge, unsere \blue\Unbestimmtenmenge,\black und R ein
kommutativer Ring mit 1. Aus R werden unsere \blue\Koeffizienten \black\der
Polynome stammen.
 
Abbildungen von X nach \IN mit einem endlichen Träger nennen wir
\blue\Monome\black in X, und fassen sie zu einer Menge \blue\[X] \black\zusammen.
Dies ist dieselbe Menge, die wir oben Y nannten.

\red Wie kann ein Träger nicht endlich sein? Wir haben ja nur endliches X, das heißt es können höchstens endlich viele Elemente auf 0 abgebildet werden. Beispiel der Träger zu:
f(x_i)=fdef(0,i=1;0,i=2;0,i=3)
 ist \emptyset, da jedes Element aus X auf das Nullelement abgebildet wird.

Man schreibt auch kurz:
 
[X] := Abb_fin(X,\IN)
 
Ein \blue\big\Polynom\normal\black in X mit Koeffizienten aus R ist eine Abbildung von [X] nach R mit endlichem Träger. Wir fassen diese Polynome zu einer Menge \big\blue\R[X]\black\normal zusammen. Man könnte auch hier kurz schreiben:
 
R[X] := Abb_fin([X],R)