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 Irreduzibilität von Polynom durch Reduktion mod 2 |
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JJPhenom
Neu 
Dabei seit: 10.06.2010
Mitteilungen: 2
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 |      Themenstart: 2010-06-10 12:47
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Hallo zusammen,
ich muss in ein paar Wochen einen Vortrag für meinen Seminarschein machen. Das Thema ist mehr oder weniger – Polynomringe, dazu der Satz von Gauss, und zusätzlich noch ein paar Irreduzibilitätskriterien. Die Theorie dahinter (die Beweise der Sätze und Kriterien) habe ich nun verstanden. Nur ist mir die Anwendung des einen Kriteriums von dem ich die Lösung habe teilweise unklar.
Es wäre super wenn mir jemand die Zündende erklärung dafür geben könnte =)
Also das gegebene Polynom ist f(x)=x^5-x^2+1
Dieses Polynom wird mod 2 betrachtet. Nun ist die folgende Aussage die die ich nicht verstehe: Wäre f(x) mod 2 zerlegbar dann muss einer der Faktoren linear oder quadratisch sein. WARUM kann keiner kubisch sein? Ich denke meine Auffasung von Polynomen in Restklassenringen ist nicht ganz korrekt. Dachte sogar dass mod 2 die aussage gilt: x=x^2.
Nun gut...weiter im Text...angenommen diese wären nur linear und quadratisch.. steht hier dass alle linearen x oder x+1 wären....ok! Es gäbe zudem nur ein quadratisches Polynom mod 2, nämlich: x^2+x+1 WARUM? Was wäre mit x^2 oder x^2 + 1 ???
Weiter: Da man mod 2 f nicht durch eines dieser Polynome teilen kann ist f also unzerlegbar. OK!
Zudem würde man das alles schon daran sehen, dass:
x^5-x^2+1=x^2(x^3-1)+1= x^2(x+1)(x^2+x+^1)+1 WARUM sehe ich das alles schon hier??wegen dem konstanten term +1?????
Wäre wirklich super wenn ihr mir helfen könntet!
LG
JJ
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fejety
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Dabei seit: 13.02.2007
Mitteilungen: 762
Aus:
| Beitrag No.1, eingetragen 2010-06-10 13:07
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Hallo JJ und herzlich Willkommen auf dem Matheplanten!
Natürlich kann einer der Faktoren kubisch sein, das ändert aber nichts an der Tatsache, dass mindestens einer der Faktoren vom Grad ≤2 sein muss.
x&equiv x2 ist schon richtig in F2.
x2+x+1 ist das einzige irreduzible Polynom 2. Grades in F2, man kann einfach nachprüfen, dass die anderen (endlich viele) reduzibel sind.
Wäre f reduzibel, so müsste f, da f(0)=f(1)=1 (keine Nullstellen), durch das einzige irreduzible Polynom von Grad 2, also x2+x+1 teilbar sein. An dieser Division mit Rest erkennt man, dass dies nicht der Fall ist.
Gruß, fejety
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owk
Senior 
Dabei seit: 10.01.2007
Mitteilungen: 6957
Aus:
| Beitrag No.2, eingetragen 2010-06-10 13:15
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Ausführlicher: Wenn d und e die Grade zweier Faktoren sind, dann ist d+e=5, also ist eine der Zahlen ≤2.
Zu x2 = x: Polynome über F2 sind nicht Funktionen F2 → F2, sondern formale Ausdrücke in einer Unbestimmten, deren Gleichheit über die Gleichheit der Koeffizientenfolgen definiert ist. Man kann zur Unterscheidung Unbestimmte immer als große Buchstaben schreiben: Für Elemente x ∈ F2 gilt x2 = x, aber im Polynomring F2[X] ist X2 ≠ X. owk
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HotBlackDesiato
Aktiv 
Dabei seit: 22.12.2008
Mitteilungen: 101
Aus: Wien, Österreich
| Beitrag No.3, eingetragen 2010-06-10 13:15
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2010-06-10 12:47 - JJPhenom im Themenstart schreibt:
Nun ist die folgende Aussage die die ich nicht verstehe: Wäre f(x) mod 2 zerlegbar dann muss einer der Faktoren linear oder quadratisch sein. WARUM kann keiner kubisch sein? f(x) ist ein Polynom 5. Grades. Mögliche Zerlegungen dieses Polynoms in 2 Polynome, also f= g*h sind:
g Grad 1, h Grad 4
g Grad 2, h Grad 3
g Grad 3, h Grad 2
g Grad 4, h Grad 1
Wie du siehst kommt in jeder Zerlegung ein Polynom vom Grad 1 oder 2 vor. Einer der Faktoren kann durchaus kubisch sein, der andere ist dann halt quadratisch.
Nun gut...weiter im Text...angenommen diese wären nur linear und quadratisch.. steht hier dass alle linearen x oder x+1 wären....ok! Es gäbe zudem nur ein quadratisches Polynom mod 2, nämlich: x^2+x+1 WARUM? Was wäre mit x^2 oder x^2 + 1 ???
Lineare Polynome können f nicht teilen, da f keine Nullstellen mod 2 besitzt. Wenn ein quadratisches Polynom f teilt, darf es nur die Nullstellen haben, welche auch f besitzt... also keine. x^2, x^2 + x hat die Nullstelle 0, x^2 + 1 die Nullstelle 1; bleibt also nur x^2+x+1 übrig
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lula
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Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 7383
Aus: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2010-06-10 13:17
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Hallo
da steht nicht, dass keiner kubisch sein darf, sondern dass es mindestens einen quadratischen oder einen lineren faktor geben muss.
wenn es einen qu. gäbe, dann auch einen kubischen.
und ja, wenn du x^5-x^2+1 durch x, x+1, (x^2+x+1)dividiest bleibt immer Rest 1
bis dann lula
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Physik Rechnungen ohne Einheiten sind keine!
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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JJPhenom
Neu
Dabei seit: 10.06.2010
Mitteilungen: 2
Aus:
|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-10 13:51
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Achso...na klar! Man stand ich auf dem Schlauch!!! Hahaha gleich bei der ersten Antwort musste ich mir wegen meiner Blindheit an den Kopf fassen!!! 
Und ich dachte schon dass ich mein Konzept von Polynomen-Restklassen überdenken müsse!
Danke an alle!!!
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