Zu den ''gewöhnlichen'' Metriken: Du hast richtig gesagt, dass es sich dabei um Abbildungen d:M\times\ M\to\IR handeln, die die drei Axiome
\ll(i)\forall x,y: d(x,y)>=0 \and (d(x,y)=0 <=> x=y)
\ll(ii)\forall x,y: d(x,y)=d(y,x)
\ll(iii)\forall x,y,z: d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
erfüllen muss. Was nicht stimmt: M darf eine beliebige Menge sein, eine Vektorraumstruktur ist nicht notwendig. Der Wert d(x,y) wird oft als Abstand von x und y interpretiert und an bestimmten Punkten wird er auch tatsächlich ''Abstand'', ''Distanz'' etc. genannt.


Eine Riemannsche Metrik auf einer Mannigfaltigkeit M ist etwas anderes, nämlich ein symmetrischer, nichtausgearteter 2\-Tensor g\in\ T^2\.M, d.h. eine Abbildung g, die auf M definiert ist, jedem Punkt p\in\ M eine symmetrische, nichtausgeartete Bilinearform g_p: T_p\.M\times\ T_p\.M\to\IR zuordnet, und zusätzliche gewisse Differenzierbarkeitsanforderungen erfüllt.

Eine Metrik in diesem Sinne ist also eher eine ''krumme'' Verallgemeinerung eines Skalarprodukts denn einer Metrik im obigen Sinne. Ist g_p positiv definit für alle p\in\ M \(eine Riemannsche Metrik im engeren Sinne\), dann kann man jedoch Längenmessungen auf der Mannigfaltigkeit einführen und so ebenfalls eine Distanz zwischen zwei Punkten x,y\in\ M definieren, nämlich als das Infimum der Längen aller glatten Kurven, die x mit y verbinden.

Die Metriken, die in der ART vorkommen, sind jedoch nicht positiv definit. Sie haben die Signatur -1,+1,+1,+1 \(oder mit anderer Vorzeichenwahl, ich bin mir nicht sicher, was die Physiker da favorisieren\). Man kann also nicht sinnvoll von der Entfernung zweier Punkte im Raum\-Zeit\-Kontinuum voneinander sprechen. Das ist physikalisch ja auch gerechtfertigt, da die Raum\-Zeit selbst nicht vom Beobachter abhängt, Längen jedoch schon. Schon die SRT hat ja Effekte wie die Längenkontraktion bei hohen Geschwindigkeiten.