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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Konjugationsklassen der Diedergruppe
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Autor
Universität/Hochschule J Konjugationsklassen der Diedergruppe
MarkusK
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 23.02.2003
Mitteilungen: 186
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2003-12-10


Sei n > 2.
Bestimme die Konjugationsklassen der Diedergruppe D_n.

Wie mache ich das, ohne, dass ich 10 Seiten Papier verschwende?

Gruß

Markus



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44770
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2003-12-10


Hi MarkusK,
die Gruppe hat 2n Elemente 1, a, a2, ..., an-1 und b, ab, a2b, ..., an-1b.
Die Relationen sind an = b2 = 1 und b-1ab=a-1, das kann man auch als (ab)2 = 1 schreiben.
Damit kann man die Konjugierten ausrechnen und sieht schnell, daß die einzige Konjugierte von a (außer a selber) gleich a-1 ist. Ebenso mit ak und a-k, falls n gerade und k = n / 2 ist, sind diese beiden gleich.
Etwas schwieriger sind die Spiegelungen in der Gruppe (die Elemente, in denen das b vorkommt). Wahrscheinlich muß man nach geradem und ungeraden n unterscheiden, es könnte eine oder zwei Konjugationsklassen geben, auf jeden Fall ist b mit a2b konjugiert. Versuche das mal zu prüfen.
Hoffe, das hilft dir.
Gruß Buri



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Cette question nous entraînerait trop loin. (Diese Frage würde uns zu weit führen) Henri Poincaré (1854-1912)



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MarkusK
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Dabei seit: 23.02.2003
Mitteilungen: 186
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-10


Vielen Dank Buri, für die schnelle Antwort.

Glaube, dass ich deine Erklärung verstanden habe.

Nur leider schaffe ich es nicht das vormal "auszurechen".
Besonders im zweiten Teil deiner Erklärung tu ich mir da hart.



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2003-12-12


Hi Markus,
ich versuch mal, die Einzelheiten auszufüllen.
Nimm ein Element ak, konjugiert mit a ergibt das ak und konjugiert mit b: a-k. Weil a und b die Gruppe erzeugen, können außer ak und a-k keine weiteren Elemente entstehen, diese bilden also eine ein- oder zweielementige Klasse.
Nun betrachte ein Element akb. Konjugation mit a liefert
a-1akba = ak-1(bab)b = ak-1a-1b = ak-2b,
also wird der Exponent bei a, mit dem man modulo n rechnen kann, um 2 erniedrigt. Konjugation mit b ergibt bak = (bakb)b = (bab)kb = a-kb,
also wird das Vorzeichen des Exponenten bei a geändert.
Beide Operationen (2 abziehen und Vorzeichen ändern) kann man beliebig oft wiederholen und erhält so alle Konjugierten von akb, weil a und b die Gruppe erzeugen.
Nun kommt die Fallunterscheidung:
1. n gerade: Dann kommen noch zwei Konjugationsklassen hinzu:
eine ist {b, a2b, ..., an-2b},
die andere ist {ab, a3b, ..., an-1b}.
2. n ungerade: Dann sind alle Spiegelungen konjugiert,
{b, ab, ..., an-1b} ist eine einzige Klasse.
Zusammen mit den Klassen der Form {ak,a-k} hat man damit alle Konjugationsklassen bestimmt.
Kannst du das nachvollziehen?
Gruß Buri




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