\red\ Aufgabenstellung:
Zeigen Sie ob diese Folge konvergiert und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert:
b_n=((n+3)/(n+4))^n

\red\ Überlegung:
b_n=((n+3)/(n+4))^n
konvergiert offensichtlich gegen 0 da:
(n+3)/(n+4)<=1 \forall\ n\el\IN
<=> n+3 <= n+4
<=> n <= n+1
und die n-te Potenz eines a\el\IR mit 0<=a<1 für n->\inf muss 0 sein man multilpiziert ja immer Glieder zwischen 0 und 1 miteinander.

also will ich konvergenz beweisen mit abschätzen und dem Sandwichtheorem, allein mit umformen gehts nicht, weil mir da die n-te Potenz probleme macht.

Die Abschätzung nach unten fällt mir schnell ein mit einer aus der Vorlesung bekannten Folge
(n/(n+1))^n<=((n+3)/(n+4))^n

aber was nehme ich für oben?
((n+4)/(n+5))^n ist zwar auch offensichtlich, aber nicht offensichtlicher als die folge für dich ich es ja in der Aufgabe beweisen will...

Ich bräuchte eine Folge die allgem. bekannt ist oder deren Grenzwert klar ist, welche ganz langsam gegen 0 konvergiert

hat zufällig wer ne idee parat? ich steh aufm schlauch

(n/(n+1))^n
 

((1+1/n)^n)/1 = ((1-1/n)^(-n))/1 = 1/(1-1/n)^n

lim(n -> \inf,(1-1/n)^n) = 1/e

((n+3)/(n+4))^(n+4)=(1-1/(n+4))^(n+4) betrachten

lim(n->\inf,(1+1/n)^n)=e

((n+3)/(n+4))^n=(1/((n+3)/(n+3)+1/(n+3)))^n

Betrachte nun ((n+3)/(n+4))^(n+3)

lim(n->\inf,(1+1/n)^n)=\ee