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Ein dünnes U\-Rohr mit konstanter, kreisförmiger Querschnittsfläche sei mit einem nicht\-viskosen, inkompressiblen Fluid gefüllt.

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Zum Startzeitpunkt t = 0 sei die Flüssigkeit um z = h ausgelenkt und in Ruhe. Der Außendruck p_0 sei konstant. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Strömungsgeschwindigkeit entlang des Rohres sowie die Auslenkung z(t). \(Hinweis: Interpretieren Sie die Forderung, dass es sich um ein dünnes Rohr handeln soll so, dass die Strömungsgeschwindigkeit auf jeder Querschnittsfläche konstant ist.)

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z^**(t) + (2A\rho g)/ m *z(t)=0. Die Lösung ist ja bekannt z(t)=z_0 sin(\omega t + \phi_0). Und mit der Anfangsbedingung z=h erhalte ich für die Auslenkung 
z(t)=h * sin(\omega t + \phi_0), allerdings bin ich mir heir auch nicht sicher, ob ich einfach z_0=h setzen kann?

Nun muss ich ja noch die Strömungsgeschwindigkeit bestimmen, das ist doch einfach die ableitung, d/dt z(t), oder? Jedoch ist mein \phi_0 auch von der Zeit abhängig, hmmm...

Grüße

Drop 

\phi_0 ist die Anfangsauslenkung und damit unabängig von der Zeit.

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z^*(t)= h *\omega cos(\omega t + \phi_0)

Wie sieht es mit z_0=h aus, ich erhalte wenn ich t=0 setze z(t=0)=z_0 sin(\omega * 0 +0)=0 und das ist ja nicht gleich h, oder?

Grüße

\phi_0 kann man nicht nullsetzen, weil sonst würde es keine Schweingung geben.

z_0=h funktioniert dann aich nicht.

 

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\phi_0=\pi/2 , oder? Dann müsste aber z_0 gleich h sein, oder? somit ich erhalte z(t)=h * sin(\omega t + \phi_0).

\phi_0=\pi/2 ist richtig. z_0=h funktioniert dann doch.

Außerdem gilt cos(\alpha)=sin(\alpha+\pi/2)

 Dadurch ergibt sich z(t)=h*cos(\omega*t)

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z^*(t)= h *\omega cos(\omega t + \phi_0), bitte absegnen:)

Grüße

Wenn du z(t)=h*cos(\omega*t) nach t ableitest ergibt sich 

v=-h*\omega*sin(\omega*t)

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z(t)=h * sin(\omega t + \phi_0) als meine Lösung nehme, dann erhalte ich ja z^*(t)= h *\omega cos(\omega t + \phi_0), müsste doch richtig sein, oder?

Grüße

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z(t)=h * sin(\omega t + \pi/2)
z^*(t)=h * \omega cos(\omega t + \pi/2)

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In der richtigen DGL
z^**(t) + (2\.A\.\rho\.g)/ m *z(t)=0
ist für die schwingende (Gesamt\-)Masse m der der Wassersäule entsprechende Term einzusetzen.
Damit wird die DGL zu
z^**(t) + \w_0^2 *z(t)=0 $  $mit \w_0^2=\cdots ?$  $(\w_0:=Eigen(kreis)frequenz)

Die allgemeine Lösung dieser DGL kann als
z(t)=z_0 sin(\w_0\.t+\phi_0)$  $geschrieben werden,
wobei z_0 und \phi_0 (:= Nullphasenwinkel und keine__ Auslenkung) die Integrationskonstanten sind, die sich bei der Lösung einer DGL 2\-ter Ordnung zwangsläufig ergeben.
Die konkreten Werte dieser Integrationskonstanten ergeben sich aus den jeweiligen Anfangsbedingungen, die hier wie folgt lauten:

z^*(t=0)=0=\w_0\.z_0\.cos(\phi_0)=>\phi_0=\cdots 
und
z(t=0)= h=>z_0 =\cdots