ich habe in einem Buch ein paar Aussage gefunden, die ich auf Grund dessen, dass das nicht so mein Bereich ist, nicht ganz verstehe.

Ich habe den linearen Integraloperator I^d: F^d->\IR, wobei F^d ein Banach-Raum ist mit Tensor-Produktnorm norm(\*)_d, für den Funktionen f aus F^1\otimes\ ...\otimes\ F^1 dicht in F^d liegen.

\big\ Frage 1:
Das heißt also F^1\otimes\ ...\otimes\ F^1\subsetequal\ F^d?

\big\ Frage 2:
Wähle ich f=f_1\otimes\ ...\otimes\ f_d\el\ F^1\otimes\ ...\otimes\ F^1, dann ist die Tensor-Produktnorm definiert als norm(f)_d=norm(f_1)_1*...*norm(f_d)_1?

\big\ Frage 3:
Warum gilt I^d=I^1\otimes\ ...\otimes\ I^1 für bel. Funktionen f\el\ F^d? Und wenn nicht, wann gilt das?

\big\ Frage 4:
Wieso gilt für die Operatornorm norm(I^1\otimes\ ...\otimes\ I^d)=produkt(norm(I^k),k=1,d)?

1. So wie du das beschreibst, soll wahrscheinlich definitionsgemäß F^1\otimes...\otimes\ F^1 = F^d sein, sonst verstehe ich die Notation nicht. Beachte aber, dass wie üblich F^1\otimes...\otimes\ F^1 echt größer als die Menge der reinen Tensoren, d.h. der Tensoren der Form f_1\otimes...\otimes\ f_n, ist.

2. Es gibt mehrere verschiedene, nichtäquivalente Definitionen einer Norm auf dem Tensorprodukt von Banachräumen. In der Tat ist das ein recht tiefgehendes Thema... Die beiden ''typischen'' Normen, die injektive und die projektive, erfüllen jedoch beide norm(x\otimes y)=norm(x)*norm(y).

3. Auch hier legt die Notation irgendwie nahe, dass die Gleichung per definitionem gilt. Wenn nicht, dann schlage die Definition nach und gib sie hier wider. Hellsehen können wir entgegen aller Gerüchte auch nach jahrelangem Training nicht.

4. Es sollte auf jeden Fall norm(I^1\otimes...\otimes\ I^1) <= norm(I^1)^d gelten. Gleichheit ist i.A. falsch, wenn mich nicht alles täuscht. Auch hier müsste man also genaueres über I und\/oder die verwendeten Normen wissen, um präzisere Aussagen machen zu können. Für die projektive und injektive Norm auf dem Tensorprodukt stimmt es jedenfalls.