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Hey Leute,
die Aufgabe lautet: Seien \IX und \IY normierte Vektorräume über dem gleichen Körper \IK mit folgender Norm: norm((x.y))=norm(x)_\IX + norm(y)_\IY. Zeige die folgenden Aussagen:

Wenn \IX und \IY Banachräume sind, dann ist auch \IX x \IY vollständig, also ein Banachraum.


Seien \IX und \IY beides Banachräume. Das heißt, sei (x_n) \el\ \IX und (y_n) \el\ \IY beides Cauchyfolgen, die konvergent gegen x bzw. y sind (das gilt, da \IX und \IY vollständig sind), d.h. norm(x_n - x) < \epsilon (wenn n groß genug) und norm(y_n - y) < \epsilon (wenn n groß genug).
Sei weiter (x_n ,y_n) eine Cauchyfolge in \IX x \IY. Zu zeigen: (x_n ,y_n) ist konvergent gegen ein (x,y) welches in \IX x \IY liegt.
Es gilt: norm((x_n ,y_n) - (x,y)) = norm(x_n - x)_\IX + norm(y_n - y)_\IY < 2 * \epsilon.

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Danke für deine schnelle Antwort Gockel...dann muss ich also zeigen, damit (x_n ,y_n) eine Cauchyfolge ist, muss gelten: \forall \epsilon > 0 \exists N \el\ \IR^+ : \forall n,m>=N : norm((x_n ,y_n) - (x_m ,y_m)) < \epsilon
Da nach Vorraussetzung x_n und y_m konvergente Cauchyfolgen in \IX und \IY sind, gilt: norm(x_n - x_m)_\IX < \epsilon (für große n,m) und norm(y_n - y_m)_IY < \epsilon (für große n,m). Daraus folgt:
norm((x_n ,y_n) - (x_m ,y_m)) = norm(x_n - x_m) + norm(y_n - y_m) < 2*\epsilon 

Damit hätte ich gezeigt, dass es sich bei (x_n ,y_n) um eine Cauchyfolge handelt oder? Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass sie konvergiert. Muss ich das machen, indem ich zeige, dass diese Folge eine konvergente Teilfolge enthält?

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ok. Also sei (x_n,y_n) eine Cauchyfolge in X x Y. Dann gilt: \forall \epsilon > 0 \exists N \el\ \IR^+ : \forall n,m>=N : norm((x_n  ,y_n)-(x_m,y_m))=norm(x_n-x_m)_\IX + norm(y_n-y_m)_\IY < \epsilon
Zu zeigen: x_n \el\ \IX und y_n \el\ \IY sind cauchyfolgen.
norm(x_n-x_m)_\IX <= norm(x_n-x_m)_\IX + norm(y_n-y_m)_\IY < \epsilon
und
norm(y_n-y_m)_\IY <= norm(y_n-y_m)_\IY + norm(x_n-x_m)_\IX < \epsilon

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naja...ich weiß ja, dass \IX und \IY vollständig sind, das heißt, dass dort jede Cauchyfolge konvergiert. Jetzt hab ich gezeigt, dass (x_n,y_n) auch eine Cauchyfolge ist. Jetzt muss ich nur noch die Konvergenz von (x_n,y_n) nachweisen. Das könnte ich zum Beispiel machen, indem ich eine Teilfole betrachte, die konvergent ist, dann ist nämlich auch (x_n,y_n) konvergent. 
Mal ne doofe Frage. Könnte ich da als Teilfolge einfach (x_n,0) oder so nehmen? Weil von der wüssten wir ja, dass sie konvergent ist oder?

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Also zeig ich jetzt, dass (x_n ,y_n) gegen (x,y) konvergiert? Denn ich weiß ja, dass x_n -> x und y_n -> y konvergiert in \IX bzw. \IY.
Und dann könnte ich doch:
norm((x_n ,y_n)-(x,y)) = norm(x_n-x) + norm(y_n-y) < 2 * \epsilon.