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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Beweis mittels Hilfssatz (unverständlich)
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Universität/Hochschule Beweis mittels Hilfssatz (unverständlich)
MaNic22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2011-06-20


Hi Leute,

ich habe erneut eine Frage bezüglich einer Aufgabe aus meinem Anfängerbuch. Es geht um den Beweis der "Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel" mittels eines Hilfssatzes und vollständiger Induktion.

Die Ungleichung:

fed-Code einblenden
__________________________________________________________________

Der zu beweisende Hilfssatz:
Gilt für reelle Zahlen fed-Code einblenden :

fed-Code einblenden

Gleichheit gilt genau dann, wenn fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Beweis mit vollständiger Induktion über n. Für n=1 gilt die Behauptung. Betrachte nun die Zahlen fed-Code einblenden , wenn alle fed-Code einblenden gleich sind und fed-Code einblenden , dann folgt , dass alle fed-Code einblenden , und es ist klar,
dass fed-Code einblenden .

//Ok, es ist also so konstruiert, dass wenn alle b=1 sind, die Gleichungen aufgehen - gut! Es geht weiter.

Falls aber nicht alle fed-Code einblenden sind, und weil gilt fed-Code einblenden , können wir o.B.d.A. annehmen, dass fed-Code einblenden . Daraus folgt, dass
fed-Code einblenden

//So! Hier kommen auch schon meine ersten Fragen auf. Wie kann die Formel fed-Code einblenden noch gelten, wenn er seine anfängliche Bed., dass alle fed-Code einblenden sind, aufgehoben hat?

Aus der Induktionsvoraussetzung folgt für die n Zahlen fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

//Also wenn zwischen b1 und b2 ein + wäre würde ich es verstehen, aber so irgendwie überhaupt nicht!

Insgesamt erhält man:

fed-Code einblenden

//So, das soll jetzt der Beweis gewesen sein. Doch irgendwie durchblicke ich noch nicht ganz was mit der letzten Ungleichung genau bewiesen worden ist oder woran man das nun ablesen kann. Und vor allem: Geht man nun die ganze Zeit bei den Formeln von b=1 aus oder von verschiedenen oder ist das irrelevant?
____________________________________________________________

//Noch verwirrender wird es, wenn wir mithilfe des Hilfssatzes die Ungleichung beweisen wollen.

Wenn fed-Code einblenden , dann ist die Behauptung trivial, und die Ungleichung gilt mit Gleichheit. //Verständlich!

Nehmen wir nun an, dass die fed-Code einblenden nicht alle gleich sind.
Sei fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Betrachte:
fed-Code einblenden
So, wie die Zahlen fed-Code einblenden konstruiert sind, ist fed-Code einblenden .
Da nicht alle fed-Code einblenden gleich sind, folgt aus dem Hilfssaz:

fed-Code einblenden

//Also ab der Formel nach "Betrachte" kann ich dem ganzen irgendwie nicht mehr folgen, es wäre schön wenn mir das jemand anschaulich erklären könnte. Vor allem 2 Dinge. Der Schluss vom letzten Satz auf die letzte Gleichung und die Tatsache, dass am Ende nur > steht, obwohl die zu beweisende Ungleichung ein fed-Code einblenden besitzt.

Ich wäre wirklich dankbar, denn ich will dieses Verfahren unbedingt verstehen :)

MfG P. Jütte

[ Nachricht wurde editiert von MaNic22 am 20.06.2011 23:58:23 ]


-----------------
MATHE ist ATHEIST
[ Nachricht wurde editiert von MaNic22 am 21.06.2011 00:00:43 ]



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Hans-im-Pech
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2011-06-21


Hallo MaNic,

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So! Hier kommen auch schon meine ersten Fragen auf. Wie kann die Formel fed-Code einblenden noch gelten, wenn er seine anfängliche Bed., dass alle fed-Code einblenden sind, aufgehoben hat?
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Das kommt, weil hier der Induktionsschritt von n nach (n+1) durchgeführt wird.
Die Behauptung ist, dass dieses Produkt gleich 1 ist und daraus wird dann gefolgert....

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Also wenn zwischen b1 und b2 ein + wäre würde ich es verstehen, aber so irgendwie überhaupt nicht!
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Betrachte die Ungleichung etwas weiter oben.


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die Tatsache, dass am Ende nur > steht, obwohl die zu beweisende Ungleichung ein fed-Code einblenden besitzt.
###

Wenn Du "größer gleich" beweisen musst und zeigst "größer" ist doch alles in Ordnung.

HiP



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MaNic22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-21


Also 2 Erkenntnisse waren schonmal dabei. Dass mit der Behauptung =1 und das mit größer gleich! Danke dafür :)

Aber der Spruch "schau dir die Ungleichung etwas weiter oben an" hat mir nicht weitergeholfen. Ich hab mir alles vorige angesehen aber ich durchblicke einfach nicht wieso der b1 mit b2 multipliziert. Klar, in der einen Ungleichung steht b1+b2 ist größer 1+b1*b2, aber wie genau wird das in die neue Ungleichung mit einbezogen?

Außerdem verstehe ich den ganzen Teil ab bi=ai/G immer noch nicht!


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MATHE ist ATHEIST



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