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 Koeffizientenmatrix aus Basis und Abbildung bestimmen |
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marcstar
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 |      Themenstart: 2011-09-19 10:30
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Hi liebe Mathegemeinde,
ich möchte gern mit den folgend gegebenen Werten die Koeffizientenmatrix bestimmen und brauche etwas Hilfe:
  
Die Basis: v_1 = (1;1;1), v_2=(-1;1;-1), v_3 = (0;1;2) Die Abbildung: f(v_1)=(-1;2;5), f(v_2)=(-5;-4;2),f(v_3)=(2;-1;6) Ich denke, man müsste hier ein Gleichungsystem erstellen, um die Abbildungsmatrix zu bekommen. Leider fehlt mir aber die Basis des Bildbereichs, um das wie gewohnt zu berechnen. Kann mir bitte jemand helfen? NACHTRAG:Ich kann aus der Abbildung eine Basis des Bildbereichs berechnen, richtig?
Vielen dank und liebe Grüße
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Perfer et obdura
[ Nachricht wurde editiert von marcstar am 19.09.2011 10:47:38 ]
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moep
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| Beitrag No.1, eingetragen 2011-09-19 10:50
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Die Schreibweise als Spaltenvektoren suggeriert eigentlich immer (außer es steht explizit dabei), dass eine feste Basis {ei} gewählt wurde, und alle Vektoren nun bezüglich dieser Basis dargestellt werden.
In deinem Fall heißt es also explizit, dass v1=1*e1+1*e2+1*e3, v2=... und f(v1)=-1*e1+2*e2+5*e3 etc. gilt, d.h. die Bildvektoren (die auch in R3 liegen) werden bezüglich der gleichen Basis wie die Urbilder dargestellt.
Gruß,
moep
Nachtrag: Ohne nähere Informationen über die Abbildung kannst du im Allgemeinen keine Aussauge über die Basis des Bildraums mithilfe der Abbildung treffen. Die Basis des Bildraums existiert auch ohne die Abbildung und ihre Eigenschaften werden durch die Abbildung in keinster Weise beeinflusst.
[ Nachricht wurde editiert von moep am 19.09.2011 10:54:26 ]
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Ex_Mitglied_28361
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| Beitrag No.2, eingetragen 2011-09-19 10:50
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Hi,
wenn nicht explizit etwas anderes gesagt wird, würde ich davon ausgehen, dass man für Start- wie Zielvektorraum dieselbe Basis verwenden soll.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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marcstar
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2011-09-19 11:17
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Gut, dann gehe ich davon aus, dass die Basis im Zielvektorraum die selbe ist. Was anderes ist ja anscheinend nach der Aufgabenstelung auch nicht möglich.
Also gehe ich wie folgt vor:
Da die Vektoren der Basis linear unabhängig sind, muss man mit ihnen f(v_1) darstellen können. Daraus kann ich ein Gleichungssystem erstellen, dessen Lösung mir die erste Spalte der Abbildungsmatrix gibt: x_1-x_2 = -1 x_1+x_2+x_3 = 2 x_1-x_2+2x_3 = 5 Analog berechne ich dann Spalte 2 und 3 der Abbildungsmatrix.
Kommt das so hin?
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Perfer et obdura
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moep
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| Beitrag No.4, eingetragen 2011-09-19 11:30
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Ich weiß leider nicht, wie du auf dieses Gleichungssystem kommst. Was berechnest du da? Was sind die xi?
Hast du bedacht, dass die Abbildungsmatrix auch von der Basis abhängt? Je nach dem, ob du die Matrix bezüglich den {ei} oder den {vi} darstellst, hat die Matrix andere Koeffizienten. Welche Matrix berechnest du denn nun?
Gruß,
moep
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marcstar
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2011-09-19 11:41
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moep
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| Beitrag No.6, eingetragen 2011-09-19 11:57
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Alles klar. Das ist dann richtig.
Gruß,
moep
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marcstar
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2011-09-19 12:11
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Dann vielen Dank für die Hilfe :)
Soll ich die komplette Lösung dann später noch posten oder gleich als erledigt markieren?
lg
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Perfer et obdura
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moep
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| Beitrag No.8, eingetragen 2011-09-19 12:15
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Wie du möchtest 
Gruß,
moep
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marcstar
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2011-09-21 11:28
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Hey,
ich muss die Aufgabe nochmal aufmachen, denn nach einer Besprechung mit einem Dozenten, ist eben nicht davon auszugehen, dass die Basis des Zielvektorraums bekannt ist.
DIe Vorgehensweise hier soll sein, dass man guckt, worauf die Standardbasisvektoren abgebildet werden. Die Abbildungen der Standardbasisvektoren ergeben dann die Abbildungsmatrix. Das funktioniert auch ganz gut, aber ich kann mir nicht erklären, warum das so ist. Was hat die Standardbasis mit den Basen des Start bzw. Zielraumes zu tun?
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Perfer et obdura
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moep
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| Beitrag No.10, eingetragen 2011-09-21 11:43
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Ich weiß nicht, was dir dein Dozent genau gesagt hat. Aber ohne eine Festlegung der Basis ist die Schreibweise von Vektoren als Spalten mit Koeffizienten sinnlos.
Auf irgendeine Art und Weise muss also im Zielraum bereits eine Basis gewählt worden sein. Da die Abbildung f von R^3 nach R^3 geht, liegt es nahe, dass einfach die gleiche Basis gewählt wird. Das muss natürlich nicht so sein, aber dann muss auch explizit erwähnt sein, wie nun die neue Basis aussieht bzw. in welchem Zusammenhang sie zur alten Basis steht.
Gruß,
moep
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marcstar
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2011-09-21 12:08
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So dachte ich mir das auch, moep. Mir wurde aber auch eine Beispielaufgabe gegeben, um zu zeigen, wie diese Aufgabe zu lösen ist. Ich fang mal an:
gegeben: f: R^2 -> R^4 Basis des Startraums mit v_1=(1;1) v_2=(0;-1) Abbildung f(v_1)=(7;1;3;4) f(v_2)=(1;2;3;4) gesucht: Abbildungsmatrix m(f) Lösungsweg: Wir untersuchen, auf welche Vektoren die Standardbasisvektoren (1;0) und (0;1) abgebildet werden. Diese Vektoren sind dann die Spalten der Abbildungsmatrix. Da f((0;-1)) = (1;2;3;4) kann man erkennen, dass (0;1) auf (-1;-2;-3;-4) abgebildet wird. Damit haben wir die zweite Spalte der Abbildungsmatrix. Da f((1;0)) = f((1;1)+ (0;-1)) = (7;1;3;4)+(1;2;3;4) = (8;3;6;8) Damit haben wir die erste Spalte von m(f). => m(f) = (8,-1;3,-2;6,-3;8,-4)
Mir ist aber rätselhaft, wie Standardbasis und Abbildungsmatrix zusammenhängen. Warum reicht es zu schauen, worauf die Standardbasisvektoren abgebildet werden?
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Perfer et obdura
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marcstar
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2011-09-21 15:52
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moep
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| Beitrag No.13, eingetragen 2011-09-21 16:35
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Jetzt verstehe ich, was gemeint ist.
Die Situation ist wie folgt:
Zunächst wählt man eine Basis von Urbild- und Bildraum (sagen wir Basis 1 und Basis 1'). Bezüglich diesen werden nun alle Vektoren im jeweiligen Raum als Spaltenvektoren dargestellt. Die Abbildungsmatrix eine beliebigen linearen Abbildung bzgl. Basis 1 und Basis 1' erhälst du immer, wenn du die Bilder der Vektoren der Basis 1, dargestellt bezüglich der Basis 1', als Spalten in eine Matrix schreibst. Dass das so ist, solltest du dir klar machen.
Nun hast du eine andere Basis im Urbildraum gegeben, Basis 2, die aber immer noch bezüglich Basis 1 als Spaltenvektoren dargestellt ist. Du kannst aber natürlich die Vektoren der Basis 1 auch als Linearkombinationen der Basis 2 darstellen. Kennst du nun die Bilder der Basis 2 - dargestellt bezüglich der Basis 1' im Bildraum - kannst du mit der oben erwähnten Linearkombination die Bilder der Basis 1 - dargestellt bzgl der Basis 1' - berechnen. Genau das wird in deinem Beispiel gemacht. In diesem Fall ist aber die Darstellungsmatrix immer noch bezüglich den Basen 1 und 1'!!!.
Den Weg, den du in Beitrag 5 beschrieben hast, hätte dir die Darstellungsmatrix bezüglich Basis 2 und Basis 1' geliefert, was natürlich was ganz anderes ist. Bei solchen Aufgaben - wo alle Vektoren bereits bezüglich zwei gewählten Basen (1 und 1') als Spalten geschrieben werden - ist es üblich, auch die Darstellungsmatrix bezüglich diesen Basen zu berechnen, daher meine Frage in Beitrag 4.
Ich hoffe, nun ist alles klar.
Gruß,
moep
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