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  Diagonaldominante Matrix in positiv definite transformieren |
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MatheMatthias
Junior 
Dabei seit: 17.08.2011
Mitteilungen: 9
Aus:
 |      Themenstart: 2011-10-28 16:25
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Hallo, lieber Matheplanet!
Im Rahmen eines größeren Beweises bin ich auf folgende Vermutung gestoßen.
Gegeben ist eine reelle, stark diagonaldominante Matrix A mit positiver Hauptdiagonalen. Zu zeigen ist, dass eine positive Diagonalmatrix D existiert, sodass AD positiv definit ist. Anders ausgedrückt kann man A also beliebig positiv spaltenskalieren, um es p.d. zu bekommen.
A muss nicht symmetrisch sein, sonst wäre die Aussage mit Gershgorin und D=I trivial. Der Beweis läuft also über den symmetrischen Anteil. Dieser ist jedoch im Allgemeinen nicht mehr diagonaldominant.
Über einen Beweisansatz oder auch ein Gegenbeispiel würde ich mich sehr freuen!
Liebe Grüße,
Matthias
[ Nachricht wurde editiert von MatheMatthias am 28.10.2011 16:40:05 ]
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Gockel
Senior 
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 22284
Aus: Jena
 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-10-28 16:36
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Hi.
"Positiv definit" für nichtsymmetrische Matrizen zu benutzen, ist in den meisten Fällen unclever. Es ist hier wahrscheinlich einfach gemeint, dass alle Eigenwerte positiv sind, und das folgt eben aus einer Betrachtung der Gerschgorin-Kreise.
mfg Gockel.
-----------------
Schwarzer Magier der Drachengilde,
Besitzer der magischen Ringe von Dedekind, Artin und Noether,
Verteidiger der aufgelösten Gruppen,
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MatheMatthias
Junior
Dabei seit: 17.08.2011
Mitteilungen: 9
Aus:
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-28 16:45
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Das stimmt natürlich, leider hilft mir das bei meinem Beweis nicht weiter.
Ich brauche, dass der symmetrische Anteil von A spd ist, also positive Eigenwerte hat. Leider macht das A^T in der Summe die schöne Diagonaldominanz kaputt. Wahrscheinlich müsste man konstruktiv angeben, wie D auszusehen hat, ich hab schon ein paar Zahlenbeispiele durchprobiert.
Falls ich es vor euch herausbekommen sollte, werde ich es auf jeden Fall posten. Falls nicht, reicht mir ein kleiner Schubser, ich stolpere gerne selber über die Lösung ;)
[ Nachricht wurde editiert von MatheMatthias am 28.10.2011 16:48:44 ]
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Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 22284
Aus: Jena
| Beitrag No.3, eingetragen 2011-10-28 17:05
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Ah, Moment, das ist ja jetzt eine ganz andere Frage als noch vor ein paar Minuten...
Jetzt stellt sich trotzdem die Frage, ob die Symmetrie-Forderung teil der Definition von "positiv definit" ist. Zunächst sollte man sich wahrscheinlich fragen, ob es überhaupt eine Diagonalmatrix D gibt, sodass AD symmetrisch wird. Wenn ich mir das so anschaue, beschleicht mich der Verdacht, dass das i.A. nicht gegeben ist. Daher die Frage an dich: Ist noch mehr über A bekannt? Wo kommt A her? Die Art der Frage legt irgendwie nahe, dass A mit einem Graph korreliert sein könnte und man ausnutzen muss, dass dieser Graph ein Baum ist, um das D zu konstruieren.
mfg Gockel.
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 8751
Aus: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.4, eingetragen 2011-10-28 18:27
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Oder
reicht vielleicht auch, wenn die Diagonalisierung von AD positiv definit ist?
Ciao Lutz
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MatheMatthias
Junior 
Dabei seit: 17.08.2011
Mitteilungen: 9
Aus:
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2011-11-01 13:56
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@Gockel: Tut mir Leid für die Änderung. Erst hatte ich gedacht, die Aussage verschärfen zu können, indem ich ohne die Spaltenskalierung auskomme. Leider ist dann die stark diagonaldominante Matrix
  
(2,1;9,10)
mit dem Vektor
(2;-1)
ein Gegenbeispiel zur positiven Definitheit.
Der Satz sollte eigentlich ohne irgendwelche zusätzlichen Voraussetzungen an A auskommen. A muss nur reell, stark dd sein und eine positive Hauptdiagonale haben. Falls allerdings jemand eine Idee hat, wie der Beweis für symmetrische A funktioniert (Achtung: dadurch ist AD i.a. trotzdem nicht symmetrisch!), wäre mir auch schon ein wenig geholfen.
Über den Graph von A ist leider auch nichts bekannt. Allerdings laufen einige Beweise, die ich zu diesem Thema gelesen habe über eine Fallunterscheidung zwischen reduziblen und irreduziblen Matrizen. Und das heißt ja nichts anderes, als dass der Graph der Matrix zshgd. ist oder nicht.
@Lutz: Das reicht bei unsymmetrischen Matrizen leider nicht. Die obige Matrix hat die Eigenwerte 1 und 11, ist aber wie gesagt trotzdem indefinit.
[ Nachricht wurde editiert von MatheMatthias am 01.11.2011 19:22:30 ]
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MatheMatthias
Junior
Dabei seit: 17.08.2011
Mitteilungen: 9
Aus:
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2011-11-01 19:30
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MatheMatthias
Junior
Dabei seit: 17.08.2011
Mitteilungen: 9
Aus:
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2011-11-08 08:21
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Hallo, liebe Planetarier!
Mittlerweile konnte ich das Problem umgehen und bin auf anderem Wege zum Ziel gekommen.
Allerdings folgt aus dem Satz von Gershgorin, dass die Matrix A positiv stabil ist. Das heißt, dass der Realteil der Eigenwerte positiv ist. Mit dem Satz von Lyapunov ist das äquivalent dazu, dass der symmetrische Anteil von AS positiv definit ist. Dabi ist S einen bestimmte spd-Matrix, die nicht notwendigerweise eine Diagonalmatrix ist.
Das ist zwar nicht ganz die Lösung der Aufgabe, aber schon relativ nah dran :o) Ich werde mich nicht weiter mit der Frage beschäftigen und hake das Thema daher ab.
Danke trotzdem an alle, die sich darüber den Kopf zerbrochen haben :o)
Matthias
[ Nachricht wurde editiert von MatheMatthias am 09.11.2011 08:33:53 ]
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MatheMatthias hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MatheMatthias hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | |
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