Zuerst zu (1)

Symmetrische Matrix hat die folgende Eigenschaft: A=A^T 
Z.z: adj(A^T)=B wobei B ebenfalls eine symmetrische Matrix sein soll, also B=B^T 

Da komme ich irgendwie nicht weiter

Zu (2)

Also ich verwende für die Adjunkte die folgende Formel

adj A =(a'_(ij))_(i,j) mit a'_(ij)=(-1)^(i+j)*det(A_(ji))

Mit det(A_(ji)) ist die Det. gemeint, die durch Streichen der j-ten Zeile und i-ten Spalte entsteht.

Damit die Adjunkte muss ja folgendes gelten: a'_(n,n-k)=(-1)^(2n-k)*det(A_(n-k,n)) für 0<k<n und das muss 0 sein. Das könnte ich mit Induktion zeigen, aber es gibt doch bestimmt einen schnelleren Weg? 

Zu (1) Z.z: adj(A^T)=adj(A)^T

Folgt durch Einsetzen in die Definiton:

adj(A^T)=(-1)^(i+j)*A_(ij)

adj(A)^T=((-1)^(i+j)*A_(ji))^T=(-1)^(i+j)*A_(ij)

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.

Zu (2)

Ich habe es mir natürlich schon an einem Beispiel angesehen, wie Buri bereits erwähnte ist das Formalisieren eine kleine Schwierigkeit.Lässt sich das nicht induktiv zeigen (siehe meinen 1.Post) ?

Also es gilt ja

A^(-1)=(det A)^(-1)*adj A

Adjunkte einer oberen Dreiecksmatrix ist obere Dreiecksmatrix (Resultat von vorhin) => A^(-1) muss daher auch obere Dreiecksmatrix sein.

Wenn e_1\,...\,e_n die Standard\-Einheitsvektoren sind, dann ist A genau dann eine obere Dreiecksmatrix, wenn A(span(e_1\,...\,e_k))\subseteq span(e_1\,...\,e_k) für k=1,...,n.
Ist A außerdem invertierbar, dann muß in allen diesen Inklusionen Gleichheit gelten, weil das Abbilden mit A die Dimension eines Unterraums nicht verändert.
Wenn man A^(-1) auf diese Gleichungen anwendet, dann folgt
A^(-1)(span(e_1\,...\,e_k))=span(e_1\,...\,e_k) für k=1,...,n,
also ist auch A^(-1) dreieckig, was zu beweisen war.