H sei ein Hilbertraum,T \in L(H) und 1/n T^n konvergiere in der starken Operatortopologie auf L(H) gegen 0. Gilt dann, dass der adjungierte Operator 1/n T'^n in der starken Operatortopologie auf L(H') konvergiert. Falls ja: Gilt auch eine Konvergenz gegen 0 ?

Ich habe versucht die Behauptung zu beweisen: Sei x' \in H' ein beliebiges Element des Dualraumes. Nach den Satz von Riesz-Frechet existiert ein \phi_x' \in H so, dass für alle x \in H gilt: x'(x) = < x, \phi_x'>

Dann:

norm( 1/n T'^n x' )_H' = sup_(norm(x)=1) abs(<1/n T^n x, \phi_x >) <= sup_(norm(x)=1) norm(1/n T^n x) norm(\phi_x )
Hier komme ich leider schon nicht mehr weiter. Die Konvergenz darf ja nicht von x abhängen. Übersehe ich etwas oder ist die Bahauptung nicht richtig?

Du hast vertan. 1/n*T^n konvergiert i.A. nicht, weder in der Norm\- noch der starken noch der schwachen Operatoropologie. 

Betrachte etwa den Operator:
Tx:=2x
Dann ist 1/n\.T^n*x=2^n/n*x für alle x. Das ist für alle x!= unbeschränkt, konvergiert also bestimmt nicht.

Was sind wirklich deine Voraussetzungen?

1/n T^n \to 0 in der SOT impliziert ja, dass für jedes x' \in H' gilt:

1/n T'^n x' konvergiert schwach^\* gegen 0

Hilft das einem vielleicht weiter?
Grüße oscar 

T : l_2 \to l_2 ; \( x_i \)_i \mapsto ( (i+1)/i x_(i+1) )_i

\stress\ Folgendes würde mich nun interessieren: \normal\ 

Wenn ich nun \red\zusätzlich \black\ fordere, dass T Cesaro-beschränkt ist, gilt dann, dass der adjungierte Operator 1/n T'^n in der starken Operatortopologie auf L(H') gegen 0 konvergiert? 



Die Frage lautet also: Folgt aus T \in L(H) Cesaro-beschränkt
und 1/n T^n \to 0 SOT stets 1/n T'^n \to 0 SOT ?



Der Operator aus dem Gegenbeispiel hilft uns in diesem Fall nicht weiter, da er nicht Cesaro-beschränkt ist ...

Mit Cesaro-beschränkt meine ich:
 sup_n norm(1/n sum(T^k,k=0,n-1) ) < \inf