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Ich möchte zeigen, dass mein Operator T:= L^(-1) F von C nach C operiert mit C:= {u \el H^1(U) mit norm(u)_(H^1) <R}. Es gilt L^(-1): L^2 -> H^1 und F:= u^(1-1/q) : H^1 -> L^6 -> L^2 (q<= -1/2), hier ist die Einbettung H^1 ->L^6 nach dem Sobolevschen Einbettungssatz sogar kompakt, denn U\subsetequal\ R^3 ist beschränkt (habe den richtigen Pfeil nicht gefunden). 
Ich muss also zeigen, dass es ein R gibt mit norm(L^(-1) F(u))<R.
Wäre die Menge C zB mit der \infty-Norm beschränkt, also C:= {u \el H^1(U) mit norm(u)_(\infty) <R}, sähe der Beweis meiner Meinung nach so aus:
norm(L^(-1) F(u))_(\infty)<= norm(L^(-1))_(\infty) norm(F(u))_(\infty)= norm(L^(-1))_(\infty) norm(u^(1-1/q))_(\infty) <= norm(L^(-1))_(\infty) norm(u)_(\infty) ^(1-1/q) <= norm(L^(-1))_(\infty) R^(1-1/q). Also wenn  R >= norm(L^(-1))_(\infty) R^(1-1/q) <=> R >= (norm(L^(-1))_(\infty))^q gewählt wird gilt norm(L^(-1) F(u))<R.
Hat einer eine Idee wie das mit der H^1-Norm gehen kann? Wie sieht da der erste Schritt aus (submultipikativ?)? Wie bekomme ich den Exponenten aus einer p-Norm mit p != \infty?