Also ich hätte gedacht, die Gleichheit ist in der PL1 definierbar, wenn es eine allgemeine PL-1 Formel \phi(x,y) in den freien Variablen x,y gibt, mit:

M\models\phi(x,y)[\beta] gdw. \beta(x)=\beta(y) in dem Modell M

für jedes beliebige Modell M und jede Belegung \beta.


Welche Definition ich auch mal gesehen habe ist:

Die Gleicheit ist definierbar, wenn man eine Formel \psi finden kann die einem sicherstellt, dass der Prädikator P_1 [man muss dann vorausstzen, dass die betrachtete logische Sprache mindestens den Prädikator P_1 enthält] sich wie die Gleicheit verhält, d.h.

M\models\psi gdw. P_1^M = \{x,y\in M \| x=y\}


Sind diese beiden Definitionen vllt. sogar äquivalent? Aus der ersten Definition folgt sicher die zweite, folgt aber auch aus der zweiten die erste?