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  Identität gilt auch wenn: Reelle Zahl -> Operator ?? |
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thyme
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Dabei seit: 26.11.2008
Mitteilungen: 444
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 |      Themenstart: 2012-01-15 02:30
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Gockel
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Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 22288
Aus: Jena
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-01-15 02:49
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Hi.
So etwas funktioniert natürlich nicht einfach so. Das macht nicht "keinen Unterschied", das ist ein gewaltiger Unterschied! Das ist etwas sehr Spezielles und hochgradig Nichttriviales, falls solch ein Schritt von Zahlen zu Operatoren funktionieren sollte. Dahinter stecken ausgeklügelte Ideen, die man auch nicht einfach mal so erklären kann. (Stichwort Funktionalkalküle und Operatorhalbgruppen)
Hille-Yosida ist keineswegs Overkill, sondern ein gutes Beispiel dafür, wie kompliziert diese Frage in Wirklichkeit nämlich ist.
Übrigens ist dein Beispiel, wo immer du das her hast, noch mit der zusätzlichen und keineswegs zu unterschätzenden Nichttrivialität ausgestattet, dass dieses Integral überhaupt nicht existiert. Wenn überhaupt, dann muss man das als Gleichung für Distributionen interpretieren, selbst dann ist die Gleichung noch falsch (weil der Fall A=E nicht berücksichtigt wird, in welchem noch eine Delta-Distribution auftaucht), und dieses ganze Gewusel wird auf der Operatorenseite extrem haarig, um es mal freundlich auszudrücken.
mfg Gockel.
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Schwarzer Magier der Drachengilde,
Besitzer der magischen Ringe von Dedekind, Artin und Noether,
Verteidiger der aufgelösten Gruppen,
Hüter von SirJectives Freundschaft.
[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 15.01.2012 02:59:52 ]
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thyme
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-01-15 03:01
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Chandler
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Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 182
Aus: Hamburg
 | Beitrag No.3, eingetragen 2012-01-15 11:44
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Hallo thyme,
Hille-Yosida ist eigentlich das passende Stichwort, da man solche Fragen durch Betrachtung von Co-Halbgruppen beantworten kann.
Die Sache könnte jedoch mehr oder weniger kompliziert sein. Ist dein Operator A beschränkt oder unbeschränkt. Ist er selbstadjugiert?
Solche Informationen gehen in einer "physikalische" Betrachtung natürlich unter. Und in dem Paper steht die Beziehung natürlich ohne weiteren Kommentar, da die mathematische Begründung sehr viel komplizierter ist als Platz in diesem Artikel. Ein Physiker soll sich dann mit der Begründung zufrieden geben, dass es doch auch für reelle stimmt.
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thyme
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Dabei seit: 26.11.2008
Mitteilungen: 444
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-01-15 17:42
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Aha, vielen Dank für die Antwort.
Aber ändert sich die Sache nicht in dem Fall, wenn ich die Vektoren Psi (wie in meinem zweiten Beitrag) dazuschreibe? Denn dann stehen links und rechts im Grunde keine Operatoren mehr, sondern Erwartungswerte, d.h. reelle Zahlen...
Nur im Erwartungswert steht der Operator halt noch... aber er verschwindet ja dann eigentlich...
Also, falls es wirklich keinen einfachen/anschaulichen Weg gibt, muss ich wohl so tun, als ob es für Operatoren und Zahlen das gleiche ist...
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Chandler
Aktiv
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 182
Aus: Hamburg
| Beitrag No.5, eingetragen 2012-01-15 21:34
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Also ich versuche mich mal: (X Banachraum)
Sei  eine C0-Halbgruppe mit Erzeuger  , wobei  selbstadjungiert ist (Stichwort Satz von Stone). Wir schreiben dann  . Es gilt folgender Satz:
Existiert für ein  der Limes
 für alle  , dann gilt:
Für deinen Fall heißt das also 
Meine Frage ist nun, ob dich der Beweis des Satzes interessiert (, welcher neben den üblichen Definitionen für C0-Halbgruppen, kaum tieferes Wissen benötigt).
Falls dein Operator A wirklich selbstadjungiert ist, und das Integral existiert, dann stimmt deine Formel auf jeden Fall im starken Sinne, d.h. angewendet auf einen Vektor.
Ich denke, es ist dann möglich und klar, wie man durch das Skalarprodukt auf deine zweite Formel kommt.
P.S: Das Integral kann man übrigens hier als einfaches Riemannintegral interpretieren, d. h. als Grenzwert von Summen.
[ Nachricht wurde editiert von Chandler am 15.01.2012 21:57:52 ]
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