[Statt (U^\senkrechtauf\ )^\senkrechtauf\ !=U war natürlich (U^\senkrechtauf\ )^\senkrechtauf\ !=U^- gemeint! Vielen Dank an Buri]

Ich soll einen Prähilbertraum X angeben, und einen UVR U mit

(U^\senkrechtauf\ )^\senkrechtauf\ !=U^-

(Gleichheit gilt ja, wenn X ein Hilbertraum ist und allgemein gilt U^- \subsetequal\(U^\senkrechtauf\ )^\senkrechtauf ).

Bisher kenne ich nur zwei Prähilberträume, die keine Hilberträume sind. Zum einen X=\{ (a_n) | es ex. ein n_o  \in \IN mit a_n=0 \forall\ n >= n_o \} mit <a_n , b_n> =sum(a_k*b_k,k=1,\infty).


Hier habe ich schon viele Unterräume ausprobiert der Art U=span (x_n ,y_n) mit expliziten Folgen x_n und y_n , dass hat nie geklappt.

Dann habe ich es mit dem Prähilbertraum X=C[-1,1] und <f,g> =int(f*g,x,-1,1) probiert.

Hier dachte ich, mit U=C^1 [-1,1] klappt es vielleicht, aber hier habe ich keine Ahnung, wie der Abschluss bezüglich der induzierten Norm aussieht. Wenn ich eine feste Funktion f wähle und U=\{ a*f | a\in \IR \} gilt auch immer nur Gleichheit.

Kann mir vielleicht jemand ein Tipp geben, welchen Unterraum man nehmen sollte?

Vielen Dank

Dann ist U=menge(u |u_1/1+u_2/2+...+u_n/n+...\ =0) ein abgeschlossener Unterraum von F (Irrtum vorbehalten), und U^\senkrechtauf besteht nur aus dem Nullelement.
\small\ Beweistipp: Der Vektor aus U^\senkrechtauf müßte proportional zum Vektor (1\,1/2\,1/3\,...\,1/n\,...) sein, aber das geht nicht, weil es ein Element von F sein muß.

Hi Buri,

ich konnte bei deinem Tipp leider nicht zeigen, dass U^-\neq F ist.

Mit U=\{ ( a_n )_(n\in \IN) \in F | sum(a_n,n=1,\infty)=0 } ging es sehr einfach zu zeigen. Denn hier kann man leicht sehen, dass U^\senkrechtauf\ =0 und dass e_1 \notel\ U^- ist.

Vielen Dank für den Tipp!

Gruß ThumpsUp

Mir ist grade aufgefallen, das mein Gegenbeispiel nicht funktioniert, und zwar ist doch e_1 \in U^- , und man kann zeigen dass U^-=d ist.

Also bin ich wieder dabei, mir Buris U anzugucken :D.

Mir fehlt noch zu zeigen, dass es folgende Eigenschaft hat: U^- \neq d. Ich hab bisher probiert zu zeigen, das e_1 \notel\ U^- ist, aber ich kriegs nicht hin. Genausowenig kann ich eine Folge konstruieren die gegen e_1 geht.. 

Gibts vielleicht ein Element, das nicht in U^- liegt, wo es einigermaßen klar ist?