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 Regression mit Polynomansatz |
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oct777
Neu 
Dabei seit: 24.02.2012
Mitteilungen: 1
Aus:
 |      Themenstart: 2012-02-24 17:20
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Hallo,
ich habe für ein Uni-Projekt eine Reihe Messdaten, aus denen ein mathematisches Modell erstellt werden soll (um die Abhängigkeit einer Variable von ihren 6 Parametern darzustellen).
Als Ansatz möchte ich dafür die Methode der kleinsten Quadrate verwenden. Wie das Ganze bei einer linearen Regression funktioniert ist mir klar.
Jetzt wollte ich versuchen, eine Gleichung in Form eines Polynoms als Ergebnis zu erhalten, finde aber nirgends einen Anhaltspunkt wie ich dabei vorgehen soll.
Soweit ich das richtig verstanden habe, müsste ich, falls ich eine univariate Regression durchführen will, die 5 anderen Parameter konstant halten. Anschließend muss ich dann die Summe aller Residuen minimieren, also
  
\ sum((Y-Y^^)^2,k=1,n)
soll minimal sein, wobei
\ Y^^=a*x^2+b*x+c
um ein Polynom 2ten Grades zu erhalten.
Anschließend müsste ich dann jeweils die 3 partiellen Ableitungen der Parameter gleich null setzen und würde so dann ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten erhalten. Durch das Gleichungssystem müsste ich dann theoretisch nach meinen 3 Parametern auflösen können, aber mit welcher Methode kann man dieses am besten lösen? Ich möchte das Ganze mit Excel machen, also wäre es eventuell besser das ganze in Matrix-Notation zu machen?
Anschließend würde ich gerne eine multivariate Regression durchführen, also eine Polynomgleichung mit den 6 Parametern.
Dort ist mir zwar klar, dass ich auf die Matrix-Notation zurückgreifen muss, aber wie ist mir noch nicht ganz klar. Bei einer linearen Regression müsste ich mittels
\ vec(b) = ((vec(X')*vec(X))^(-1)*vec(X')*vec(y)
den Parameter-Vektor b erhalten.
Funktioniert das Selbe auch bei einem Polynom (2ten Grades)?
Wäre für jede Hilfe dankbar!
Und sorry für eventuelle Rechtschreibfehler 
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davidhigh
Senior 
Dabei seit: 10.03.2007
Mitteilungen: 2482
Aus: Kiel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-02-24 22:43
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Hallo,
willkommen auf dem Matheplaneten.
Ich geb jetzt mal keine Antwort auf deine Fragen, sondern nur einen praktischen Tip: wenn es dir hier nur um das Ergebnis geht, also darum passende Parameter a,b,c zu finden, dann verwende gnuplot. Da wird die Aufgabe nämlich ein Zweizeiler.
Desweiteren ist es sehr einfach, eine andere funktionale Form anzunehmen, z.B. wenn du noch einen x^3 Term hinzufügen willst, oder z.B. an exp(a*x) fitten willst, usw.
Solltest du daran interessiert sein und Probleme haben, helf ich dir gerne.
Gruß, David
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Eine Hauptursache der Armut in den Wissenschaften ist meist eingebildeter Reichtum
(Bertolt Brecht, Leben des Gallilei)
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 2579
Aus: Gifhorn(NDS)/Panketal(BRB)
| Beitrag No.2, eingetragen 2012-02-25 01:38
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\ Verstehe ich das richtig, dass Du Parameter a_i, b_i und c_i suchst, so dass f(x_1,...,x_6) = (a_1*x_1^2+b_1*x_1+c_1) + ... + (a_6*x_6^2+b_6*x_6+c_6) möglichst gut mit Deinen Meßwerten übereinstimmt? Wenn ja, dann tue einfach so, als hättest Du nicht sechs Einflußgrößen x_1 bis x_6, sondern zwölf x_1 bis x_6 und x_1^2 bis x_6^2 und führe für diese eine lineare Regression durch. Das liefert dir die optimalen Parameter a_i und b_i und ein c (was die Summe der c_i ist). Kitaktus
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