\
y^'' -2y^'+2y=e^x

\
y(0)=3 und y^'(0)=6

\
y_H = e^x [ C_1 sin(x) + C_2 cos (x)]

mit :

y_1 = e^x sin(x) 
y_2 = e^x cos(x)

(y^')_1 = e^x sin(x) + e^x cos(x)
(y^')_2 = e^x cos(x) - e^x sin(x)

\
Wronski Det: 

W(x) = y_1(y_2)^' - y_2(y_1)^'


y_S = -y_1(x) int((f(x) y_2(x))/(W(x)),x) + y_2(x) int((f(x) y_1(x))/(W(x)),x) 

mit f(x) = e^x

\
int((f(x) y_1(x))/(W(x)),x) 

\
-ln|tan(x/2)|

\
Hallo dsc1,
ich vermute einen Rechenfehler. Was bekommst Du für die Wronski\-Determinante?
Ich erhalte W(x)=-exp(2\.x) und sehe \(ohne weiter gerechnet zu haben) nicht, wie log(tan(x/2)) entstehen sollte.

Ein anderer, weniger systematischer Weg ist für eine spezielle Lösung einen Ansatz vom Typ der rechten Seite zu verwenden.

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland

\
W(x)= -e^2x sin(x)^2

\
Hallo dsc1,
ich habe mit Deinen Werten für y_i und y'_i gerechnet.

Viel Erfolg,
Roland

\
W = e^2x (cos^2(x) - sin^2(x))

\

y_1 = e^x sin(x) 
y_2 = e^x cos(x)

(y^')_1 = e^x sin(x) + e^x cos(x)
(y^')_2 = e^x cos(x) - e^x sin(x)

W(x) = y_1(y_2)^' - y_2(y_1)^'


W(x) = e^x sin(x)*[e^x cos(x) - e^x sin(x)] - [e^x cos(x)(e^x sin(x) + e^x cos(x))]

\
W(x)= e^2x sin(x) cos (x) - e^2x sin^2(x) - [ e^2x cos(x) sin(x) +e^2x cos^2(x)

= e^2x cos^2(x) - e^2x sin^2(x) 

=e^2x(cos^2(x) - sin^2(x))

\
Damit nun die richtige Lösung rauskommt müsste ja (cos^2(x) - sin^2(x))= 1 sein ... 

\
Hallo dsc1,
Du hast einen Vorzeichenfehler bei dem letzten Term:
\align
W(x)=e^x sin(x)*[e^x cos(x) - e^x sin(x)] - [e^x cos(x)(e^x sin(x)+e^x cos(x))]=
 =exp(2\.x)*cos(x)*sin(x)-exp(2\.x)*sin^2(x)-exp(2\.x)*cos(x)*sin(x)-exp(2\.x)*cos^2(x)=
 =-exp(2\.x)*(sin^2(x)+cos^2(x))=-exp(2\.x)
\stopalign

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland

\small\ PS: Sieht ein fed\-Experte, warum an Ende der zweiten Zeile kein Gleichheitszeichen angezeigt wird?

\
Die Formel cos^2(x)+sin^2(x)=1 folgt aus dem Satz des Pythagoras, weil Kosinus und Sinus die Längen der Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks angeben, dessen Hypotenuse die Länge 1 hat.

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland