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ax^2+by^2+cz^2 lässt sich immer rational auf Form a'x^2+b'y^2+z'^2 bringen indem man a'=ac, b'=bc und z'=cz setzt \(das Vorzeichen bei z kann man auch noch in a und b packen wenn man möchte\).
Diese Ersetzung kann man analog auch mit a oder b durchführen, in deinem Fall müsstest du also eins der Symbole \(2c,-5c\), \(10,5c\) oder \(10,2c) berechnen.

ax^2+bx+c=0 sind x_1,2=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/2a
Halt am Ende das Ergebnis dann modulo 8 nehmen

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produkt(((2c,-5c)/p),p)=1    
(muss hier im hilbertsymb nochmals klammern da es sonst nicht richtig im zähler steht) 

für p=\inf ist es =1. Weil eines von beiden >0 ist. 
für alle anderen p (ausser p=2) ist es auch 1, da 2c und -5c ''p-adische Einheiten'' sind.
für p=2 ist also der wichtige Spezialfall.
So:
((2c,-5c)/2) ist genau dann 1, wenn (laut Formel aus buch)
(-1)^((2c-1)(-5c-1)/(2*2))=1 ist. 
Das geht nur wenn (2c-1)(-5c-1)/(2*2)==0 mod 2
oder: (2c-1)(-5c-1) == 0 mod 8
oder: -10c^2+3c+1 == 0 mod 8.

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Das Hilbertsymbol ((2c,-5c)/2) kann ich so auftrennen laut Formel:
((2c,-5c)/2)=((2,-5c)/2)((c,-5c)/2).

Dann hab ich beim ersten, genau dann 1 wenn:
((2,-5c)/2)=1 <=> (-1)^((-5c-1)/8)=1 <=> (-5c-1)/8=0 mod 2 <=> 
c==3 mod 16. 

Beim zweiten (für c ungerade,also c und -5c 2-adische Zahlen)
((c,-5c)/2)=(-1)^((c-1)(-5c-1)/(2*2)) <=> -5c^2+4c+1==0 mod8 <=> 
c==5 mod 8 oder c== 7 mod 8. 

Lösung c==3 mod 16 passt jedoch mit keider der beiden oben zusammen. 
Was mach ich falsch?

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Im ersten Teil hast du schon wieder einen Exponenten der nicht immer ganzzahlig ist \(da fehlt wohl ein Quadrat\). Im zweiten Teil verpasst du am Ende die Hälfte der Lösungen, auch c == 1,3 mod 8 funktionieren. Du sparst dir außerdem etwas Arbeit, wenn du vorher noch ((c,-c)/2)=1 anwendest.

Zudem solltest du bedenken, dass diese Formeln nicht wirklich nützlich zur Berechnung sind. Zum Beispiel ist die viel bessere Regel, dass ((2,c)/2)=1 wenn c == +-1 mod 8 ist. Analog ist für ungerade a,b genau dann ((a,b)/2)=1 wenn mindestens eines von a und b == 1 mod 4 ist.
Diese Sichtweise erspart dir unnötiges Lösen quadratischer Gleichungen mod 8 sowie Fehler im allgemeinen.

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((2c,-5c)/2)=((2,-5c)/2)((c,-5c)/2)=((2,-5)/2)((2,c)/2)((c,5)/2)((c,-c)/2)

ergibt:
((2,-5)/2)=-1 laut Formel. 
((2,c)/2) <=> (c^2-1)/8=1 mod2 (weil ich -1 möchte damit es sich wieder auf eins aufhebt, oder?!?) <=> c^2=9 mod 16.
((c,5)/2)=1 <=> c=1 mod2  (also nur ungerade!!??! falsch schon einmal!)
((c,-c)/2)=1.

Damit erhalte ich diese falsche Lösung. Ich weiß wirklich nicht wie ich nun auf die richtige komme. Hab jetzt wirklich alles versucht. Sogar wenn ich die Anfangsgleichung mit 2 multipliziere statt mit c.