Hallo Planetarier,

mir bereitet die folgende Aufgabe Kopfschmerzen.

Sei G\subset\ IR^2 ein beschränktes konvexes Gebiet mit stetiger Randkurve C. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt abs(G) von G durch die Formel  

abs(G) = 1/2* int(xdy-ydx,,C)

berechnet werden kann. Die Kurve ist so orientiert,dass G zur Linken liegt.

Ich bin da ziemlich ratlos, wie ich das herleiten, bzw. anständig begründen soll.

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man sieht diesen Satz besser ein, wenn man von 0 \el G ausgeht. Dann ist det(x,dx;y,dy) der Flächeninhalt des Parallelogramms, das vom Ortsvektor und vom infinitesimalen Tangentenvektor aufgespannt wird.

Den allgemeinen Fall erledigt man, indem man die Verschiebungsinvarianz zeigt: man ersetzt x durch x - a und y durch y - b; a, b \el \IR. Während sich das auf die Differentiale gar nicht auswirkt, sind die Integrale über a nach dy und b nach dx aufgrund der Geschlossenheit der Kurve gleich Null.