Hallo !
Habe folgende Aufgabe gegeben :
Sei U:= menge(x\el\ \IR^4 | x_1 + 2x_2 = x_3 + 3x_4)
(a) Gebe eine Basis des Unterraums U von \IR^4 an
(b) Finde einen Unterraum U' von \IR^4 mit \IR^4 = U \oplus\ U'

zur (a) Es gilt ja  x_1 + 2x_2 - x_3 - 3x_4 = 0

Hieraus suche ich mir alle Linear unabhängigen Vektoren und komme auf v_1= (2;-1;0;0) , v_2= (0;1;-2;0) , v_3 = (0;0;-3;1) durch probieren.
Diese Vektoren sind linear unabhängig und da man durch diese alle vektoren darstellen kann auch eine Basis .Gibt es dazu auch noch eine bessere Rechenart als ''probieren''(allerdings noch nicht den Gauß-algorithmus). 
zu (b) Hier muss ja gelten, dass dim (U') = 1 , da dim(u) = 3 
nur wie komme ich auf diesen Vektor ? Gibt es auch hier eine bestimmte vorgehensweise wie man das ermittelt?
Vielen Dank für die Hilfe!
lg Simon

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bei (a) kann man sich zum Beispiel x_4 ''ausgucken'' und sich dann überlegen, dass man - egal wie man x_1, x_2, x_3 wählt - immer ein x_4 findet, so dass die Gleichung erfüllt wird.
Die ersten drei Einheitsvektoren kann man also ''anpassen''.
Dass die entstandenen Vektoren linear unabhängig sind, sollte offensichtlich sein.

Man muss sich nur noch überlegen, warum die Dimension höchstens 4-1 = 3 ist. Dann weiß man, dass die drei Vektoren den Unterraum erzeugen und somit auch eine Basis bilden.

Bei (b) kann man dann auf (a) zurückgreifen: Der Unterraum hat offensichtlich Dimension 3, da die Basis drei Elemente hat.
Fügt man nun also einen Vektor hinzu, der nicht im Unterraum liegt, so ergibt sich aus Dimensionsgründen der gesamte Raum.
Einen Vektor zu finden, der nicht im Unterraum liegt, sollte ziemlich leicht sein. Der davon erzeugte Unterraum ist das gewünschte Komplement.

Hallo,
dass die Dimesion höchstens 3 sein kann sieht man daran , dass nicht alle Vektoren des \IR^4 dargestellt werden können, wie z.B (1;1;1;1) , da ja aus dim(U) = dim(v) folgen würde , dass U=V . Und da man 3 linear unabhängige Vektoren gefunden hat ist die dimension 3. 
(b) hier wählt man einfach den obigen Vektor oder?

lg Simon