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Mit X_1 , X_2 zwei unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen sei f die charakteristische Funktion von X_1 bzw. X_2

a) Berechne die charakteristische Funktion von -X_1 , X_1 + X_2  resp. X_1-X_2
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Meine Ideen bisher, ehrlich gesagt noch nicht wirklich gross Pläne:

a.1) X_1:   1-f 
a.2) X_1+X_2:  f^2 
a.3) kein Plan.

a.1) f_(-X_1)=E(e^(i*t*(-X_1)))=E(e^(i*(-t)*X_1))=f(-t)
a.2) f_(X_1+X_2)=(f(t))^2
a.3) f_(X_1-X_2)=E(e^(it(X_1-X_2)))=E(e^(itX_1))*E(e^(i(-t)X_2))=f(t)*f(-t)


Das stimmt alles jetzt, ja?

Ich habe nun die b) noch:

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b) Konstruiere eine Zufallsvariable mit charakteristischer Funktion g=abs(f(s))^4
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Ja gut, 4*X_1 hat ja die char. Funktion f(t)^4 = (f(t)^2)^2 .

Braucht es hier bei der Zufallsvariable noch Betragszeichen? Ich finde das etwas komisch, weil das Quadrat ja nur positiv sein kann. Was meint ihr? Was haben diese Betragszeichen da zu bedeuten? Auch bei komplexen Grössen ist das ja so... (?)

Grüsse

Klar abs(e^(itX))=1.

Suchen wir nun weil abs(E(e^(itX)))=E(abs(e^(itX))) eine charakteristische Funktion die immer Wert 1 hat oder warum ist das so?


Und was bitte soll ich hier verschweigen?

a.3) f_(X_1-X_2)=E(e^(it(X_1-X_2)))=E(e^(itX_1))*E(e^(i(-t)X_2))=f(t)*f(-t)

X_1 und X_2 sind ja unabhängig und gleichverteilt. Ich habe so auch gelernt, dass dann gilt:
E(X_1)*E(X_2)=E(X_1*X_2) 

Warum aber darf ich das hier nicht machen? Darf ich schreiben:

E(e^(itX_1))*E(e^(i(-t)X_2))=E(e^(itX_1)/(e^(itX_2))) (\*) ???

Wenn nein, warum nicht?

Wenn ja, darf ich dann auch weil identisch verteilt

E(e^(itX_1)/(e^(itX_2)))=E(e^(itX_1)/(e^(itX_1)))=E(1)=1 (\*\*)


Weiss das jemand? 

Grüsse

E(e^x)=\inf
E(e^(-x))=endlich

Einleuchtend, dass man das nicht einfach teilen kann. Auch ist

E(x)=1
E(1/x)=nicht konvergent

Man darf das mal also generell nicht einfach reinziehen bei Erwartungswerten. Wieso aber darf man mit X_1 , X_2 unabh.id.NORMALvert. sagen, dass

E(X_1)*E(X_2)=E(X_1*X_2)  ???

Hat da niemand eine Regel, nach der da vorgegangen werden kann...? Wann darf mans und wann nicht?

Meine Vermutung ist, dass wenn 
E(X_1)<\inf und E(X_2)<\inf dann gilt E(X_1)*E(X_2)=E(X_1*X_2)

Was denkt ihr von meiner Vermutung?

Grüsse

\
 E(e^(it(X_1-X_2))) = E(e^(itX_1))*E(e^(i(-t)X_2))
   =E(e^(itX_1))* E(1/(e^(itX_1))) != 1,
weil i.A.
  E(1/Y) != 1/E(Y)
ist

Es gibt aber keine Regel die man hernehmen kann um zu sagen, unter diesen Umständen gilt

E(1/Y)=1/E(Y)

?