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  Stetigkeit der Distanzfunktion |
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Unknown70s
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Dabei seit: 16.01.2012
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 |      Themenstart: 2012-07-11 20:25
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Hallo,
ic habe eine Frage zum Beweis der Lipschitz-Stetigkeit der Distanzfunktion. Ich habe schon Beweise dazu im Internet gefunden, aber mir geht es darum, ob mein Beweis auch rictig ist.
  
\ A sei eine beliebige Menge und die Distanzfunktion ist definiert als d(x,A):=inf{d(x,y): y \in A}. Wegen der Dreiecksungleichung gilt für beliebige x,y,z: d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) Kann man jetzt einfach das Infimum über y \in A ''über die Ungleichung ziehen''? Dies würde zu inf{d(x,y): y \in A} <= d(x,z) + inf{d(z,y): y \in A} führen. Darf man das bei beliebigen Mengen A machen oder funktioniert das nur bei abgesclossenen Mengen, da nur dann das Infmum angenommen wird?
Wäre toll, wenn mir jemand sagen kann, ob man das einfach so machen darf!
Schon mal vielen Dank im Voraus!
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Gockel
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Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 22288
Aus: Jena
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-11 20:29
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Hi.
Du kannst deine Fragen doch selbst beantworten. Benutze die Definition von "Infimum" und alles klärt sich von selbst.
Und um gleich einen Fehler zu korrigieren: Auch wenn A abgeschlossen ist, muss das Infimum nicht angenommen werden. Zusatzaufgabe: Finde ein Beispiel dafür.
mfg Gockel.
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Schwarzer Magier der Drachengilde,
Besitzer der magischen Ringe von Dedekind, Artin und Noether,
Verteidiger der aufgelösten Gruppen,
Hüter von SirJectives Freundschaft.
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Unknown70s
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Mitteilungen: 27
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-11 21:07
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Okay, die Menge muss zusätzlich beschränkt sein, damit das Infimum angenommen wird.
Aber wie ich mir die Frage mit der Defnition des Infimums erklären kann, ist mir unklar. Hast du noch einen kleinen Hinweis?
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Unknown70s
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-11 21:15
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Kann es sein, dass man das Infimum nicht einfach "über die Ungleichung ziehen" darf, da bei der Ungleichung auf beiden Seiten das gleiche y stehen muss, wenn man jetzt jedoch das Infimum hinschreibt, muss dieses, auch bei einer abgeschlossenen und beschränkten Menge, nicht für das gleiche y angenommen werden, weshalb die Ungleichung i. A. nicht mehr erfüllt zu sein braucht?!
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Dune
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Dabei seit: 30.03.2009
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Aus: Rostock
| Beitrag No.4, eingetragen 2012-07-11 21:16
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Hi Unknown70s,
das Infimum einer Menge X ist durch 2 Eigenschaften eindeutig bestimmt:
(1)  für alle 
(2) falls  für alle , so folgt 
Deine Behauptung folgt leicht, indem du diese Eigenschaften jeweils einmal anwendest :)
Viele Grüße,
Dune
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Gockel
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Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 22288
Aus: Jena
| Beitrag No.5, eingetragen 2012-07-11 21:31
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Und nein, auch Beschränktheit reicht nicht aus, damit das Infimum angenommen wird! Zusatzaufgabe Teil b: Finde heraus, wie man das Gegenbeispiel aus dem ersten Teil abändern kann, um hier ein Gegenbeispiel zu haben.
mfg Gockel.
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Dune
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Dabei seit: 30.03.2009
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| Beitrag No.6, eingetragen 2012-07-11 21:38
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Unknown70s
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Mitteilungen: 27
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-11 22:22
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Danke, als ich die Definition des Infimums noch einmal gesehen habe, wurde mir dann auch direkt klar, wieso es direkt daraus fogt.
Ja, d soll eine Metrik sein (hätte ich vielleicht noch explizit erwähnen sollen). Was gibt es denn für Sonderfälle, dass das Infimum einer kompakten Menge nicht angenommen wird, wenn d keine Metrik ist?
Ich dachte, da es in einer beschränkten Menge immer eine Folge gibt, die gegen das Infimum konvergiert, mit der Abgeschlossenheit immer folgt, dass das Infimum angenommen wird. Liege ich da falsch?
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Gockel
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Dabei seit: 22.12.2003
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Aus: Jena
| Beitrag No.8, eingetragen 2012-07-11 22:42
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Hi.
Jaein. Auf kompakten Mengen wird das Infimum in der Tat immer angenommen, denn  ist ja stetig und stetige Funktionen nehmen auf Kompakta immer ihr Minimum an.
Für jede Funktion  (stetig oder nicht) gibt es auch immer eine Folge  , sodass  . Wenn in unserer Situation diese Folge in X konvergiert, dann folgt aus der Abgeschlossenheit von A auch  und aus der Stetigkeit von  folgt  , d.h. dass Infimum angenommen wird.
Der Fehler liegt darin, die Existenz dieses Grenzwerts einfach so vorauszusetzen. Das folgt nicht aus den Voraussetzungen, auch nicht aus der Beschränktheit, denn dafür müsste man ja den Satz von Weierstraß (jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge) oder äquivalent den Satz von Heine-Borel (jede beschränkte, abgeschlossene Menge ist kompakt) benutzen.
Diese Sätze gelten aber einfach nicht in beliebigen metrischen Räumen. Sie sind im  wahr, aber im Allgemeinen eben nicht. Jede kompakte Menge ist beschränkt und abgeschlossen, aber die Umkehrung gilt normalerweise nicht.
mfg Gockel.
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Unknown70s
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-11 23:15
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Okay, danke! Stimmt, in allgemeinen metrischen Räumen ist ja nur totale Beschränkheit und Vollständigkeit äquivalent zu Kompaktheit und nicht Beschränktheit uns Abgeschlossenheit!
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wohldefiniert ist, also das Infimum für alle x existiert. Natürlich gilt im Allgemeinen nicht 
für ein 
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