Sei V ein endlich-dimensionaler \IC -Vektorraum, sei f ein Endomorphismus von V, und sei P(X)= (X-1)^2(X-2)(x-7)^2 \el\ \IC [X]. Es gelte:
i) p(f)=0
ii) Spur f = 6, det f = 4
iii) rg(f-id)=3
Bestimme die JNF von f.

Meinen Ansatz: aus i) folgt, dass p(X) im Annulator von f liegt. Deshalb teilt das Minimalpolynom \mue(X)  p(X). Also hat unser Minimalpolynom folgende Gestalt:  \mue (X) = (X-1)^r_1*(X-2)*(X-7)^r_2 mit r_1, r_2 \el\ \IN und 1<= r_1, r_2 <= 2
Also, haben wir die Eigenwerte 2,1 und 7.

Weiter wissen wir, dass die Spur, Determinante und der Rang Invariant unter ähnlichen Matrizen ist, d.h. aus (ii) folgt Spur JNF_f=6 und det JNF_f =4

Aus iii) Es muss weiterhin gelten rg( JNF_f-id)= 3. Außerdem können wir, wenn wir die Dimension des Vektorraums kennen, Die Anzahl der Jordankästchen zum Eigenwert 1 angeben, denn dim V= dim im f + dim ker f. Wobei dim ker f = der Anzahl der Kästchen beschreibt. 

Was mich irritiert, wenn wir die EW 1,2 und 7 haben. Dann ist die Spur doch jetzt schon mind. 10. Also, irgendwas kann da noch nicht so ganz stimmen.

(2,0,0,0;0,2,0,0;0,0,1,k;0,0,0,1) wobei k \el\ {0,1}
Daraus folgt, dass dim V = 4 ist. Daraus folgt aber, dass es nur ein Kästchen zum Eigenwert 1 geben kann. Also sieht die JNF von f so aus:

(2,0,0,0;0,2,0,0;0,0,1,1;0,0,0,1)