Es ergibt sich aus der Elastizitätstheorie für die ''Verbiebung'' der Membran die elastische Energie:

E_0 \approx \kappa/2 int((\Nabla\ ^2 h)^2,r^>)

Nun wird dort weiter gesagt, dass diese Gleichung im Impuls\-Raum umgeschrieben werden kann:

E_0 = \kappa/2 sum(k^4 h_(-k^>) h_(k^>),k^>)

Weiterhin kann das Problem kanonisch quantisiert werden, indem der Impuls\-Operator P_(k^>) mit der folgenden Kommutatorrelation 

[h_(k^>), P_(k^>´)] = i \delta_array(k^>\,k^>´)

eingeführt wird. Somit ergibt sich ein Hamiltonian in der folgenden Form:

H = sum(((P_(-k^>) P_(k^>))/(2 \sigma) + (\kappa k^4)/2 h_(-k^>) h_(k^>)),k^>)

Daraus ergibt sich dann mit der Heisenberg Bewegungsgleichung die Schwinugnsmode.

d/dx f(x)<->\ii k f^~(k)

Hallo,

nun wird aus der Heisenberg\-Bewegungsgleichung die entsprechende Dispersion berechnet. Also:

d/dt h_(k^>) = i/ \hbar [ 1/(2 \sigma) P_(-k^>) P_(k^>) + (\kappa k^4)/2 h_(-k^>) h_(k^>) , h_(k^>) ] + \pd\ / \pd\ t h_(k^>)

h_(k^>) wird hier anscheinend als Ortsoperator bertrachtet, so dass der Kommutator hier Null ist. Laut dem Paper gilt die Relation [h_(k^>), P_(k^>´)]=i \delta_(k,k´).

[P_(-k^>) P_(k^>), h_(k^>´)] = P_(-k^>) [P_(k^>), h_(k^>´)] + [P_(-k^>), h_(k^>´)] P_(k^>) = -i P_(-k^>) \delta_(k,k´) + -i P_(k^>) \delta_(-k,k´) = -2i\.P_(-k^>)

Somit folgt dann:

d/dt h_(k^>) = 1/ (\hbar \sigma) P_(-k^>) + \pd\ / \pd\ t h_(k^>)

Meine Frage wäre hier, wie ich damit auf die angebene Dispersion komme?

LG