Mit Hilfe des Satzes von Glivenko-Cantelli kommt man doch garantiert auch auf folgende Aussage:

P(sup_x abs(F_n(x)-G_m(x))<\epsilon) -> 0 für F!=G

Oder?! F_n bzw G_m sind dabei empirische Verteilungsfunktionen der unabh. Größen X_i bzw. Y_j die alle dieselbe stetige Verteilungsfunktion F bzw. G haben. Ich tue mich allerdings ein wenig schwer damit. Hat wer eine Idee? Einen Tipp?

Vielleicht evrstehe ich dich falsch, aber haben die X und die Y unterschiedliche Verteilungen, d.h. können F und G verschieden sein? Wenn ja, dann kann man ein derartiges Ergebnis nicht erwarten. Stell dir z.B. vor, dass X_i=0 und Y_j=1. Dann gilt offenbar |F_n(1/2)-G_m(1/2)|=1

@Moritz: ja, bei n->\inf, m->\inf soll diese Aussage gelten. Aber du würdest mir auch schon sehr helfen wenn du einen Tipp hast, wie ich das bei gleich großen Stichproben anstellen könnte, sprich wie man

lim(n->\inf,P(sqrt(n/2)sup_x abs(F_n(x)-G_n(x))<\epsilon) = 0 für F!=G)

zeigt, wobei ich jetzt frecherweise noch den Vorfaktor sqrt(n/2) reingeschummelt habe :P Du sagst ich sollte den Ausdruck Schritt für Schritt zerlegen. Kannst du vielleicht einen Tipp geben was du damit meinst? Ich habe mir bisher überlegt, dass ich bestimmt die Verteilungsfunktionen F und G mit reinbringen muss, um dann den Satz von Glivenko-Cantelli verwenden zu können. Kann ich die einfach als ''Null'' - also einmal addieren, einmal subtrahieren - hinzufügen? Bzw. hilft mir das? Hätte dann ja zweimal die ''Zutaten'' für den Satz von Glivenko-Cantelli und dann noch einmal die Differenz von F und G, die an irgendeinem x_0 ja größer als 0 ist wegen F!= G (womit man ja schonmal eine Konstante drinhätte die nicht beliebig klein wird).  Naja, aber wie gesagt, keine Ahnung ob das iwie weiterhilft oder man anders rangehen muss bzw. wie genau das jetzt gemacht wird.

@Dull: Ich sehe da keinen Widerspruch, ganz im Gegenteil. Ich sage doch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Supremum der Differenz der empirischen Verteilungsfunktion kleiner als ein beliebiges \epsilon > 0 ist, bei wachsendem Stichprobenumfang gegen Null konvergiert (Im Fall unterschiedlicher Verteilungsfunktionen F und G). 

Also, man kann es ja umformulieren:

lim(n->\inf,P(sqrt(n/2)sup_x abs(F_n(x)-G_m(x))>c))=1 für F!=G

Problem: Beim Einfügen der ''Null'' und anschließendem Anwenden der Dreiecksungleichung kann ich aber die Wahrscheinlichkeit ja nur nach oben abschätzen, weil mein supremum ja größer oder gleich groß wird. Oder übersehe ich was?! Hilft das also überhaupt? Ich stehe iwie aufm Schlauch:

lim(n->\inf,P(sqrt(n/2)sup_x abs(F_n(x)-G_m(x))>c))

= lim(n->\inf,P(sqrt(n/2)sup_x abs(F_n(x)-G_m(x)-F(x)+G(x)+F(x)-G(x))>c))

....

Wegen F!=G gibt es ein x_0 derart, dass abs(F(x_0)-G(x_0))>0.

Dann:

lim(n->\inf,P(sqrt(n/2)sup_x abs(F_n(x)-G_n(x))>c))

= lim(n->\inf,P(sqrt(n/2)sup_x abs(F_n(x)-G_n(x)-F(x)+G(x)+F(x)-G(x))>c))

>= lim(n->\inf,P(sqrt(n/2) abs(F_n(x_0)-G_n(x_0)-F(x_0)+G(x_0)+F(x_0)-G(x_0))>c))

>= lim(n->\inf,P(sqrt(n/2) abs(abs(F_n(x_0)-F(x_0))-abs(G_n(x_0)-G(x_0))-abs(G(x_0)-F(x_0)))>c))

wobei ich im letzten Schritt die umgekerhte dreiecksungleichung verwendet habe. So, ich weiß jetzt aber nicht genau, wie ich mathematisch korrekt mit den Grenzwertaussagen umgehe, die ich kenne. Sprich wie kann ich hier die Aussage lim(n->\inf,sup_x abs(F_n(x)-F(x))=0 bzw. lim(n->\inf,sup_x abs(G_n(x)-G(x))=0 
und insbesondere natürlich lim(n->\inf,abs(F_n(x_0)-F(x_0))=0) anwenden? Da fehlen mir ein wenig die Argumente.