i^1+i^2+i^3...+i^n

x*i^n = xi^(1+n)

1.) ''Ja'' ist die richtige Antwort, allerdings scheinst du dich bei der Begründung verschaut zu haben: Nicht das k läuft in der Summe, sondern das i, und k ist fix. Für k=1 z.B. ist die linke Seite ein Ausdruck der Form 1+2+3+...+n, was sich bekanntlich auch als n(n+1)/2, also ein quadratisches Polynom in n schreiben lässt. Und dahinter steckt ein allgemeines Prinzip: Die Summe der ersten n k-ten Potenzen natürlicher Zahlen ist immer ein polynomialer Ausdruck (k+1)-ten Grades in n.

2.) Hier wäre die richtige Antwort ''nein'' gewesen. Du hast dein ''ja'' mit einem konkreten Beispiel, auf das die Voraussetzung zutrifft, zu belegen versucht, aber das allein ist noch kein Beweis für ihre Richtigkeit. Wenn du z.B. die Folge f(n)=2^n betrachtest, dann ist f(n/2)=2^(n/2)=sqrt(2)^n. Aber die Aussage 2^n = \Theta(sqrt(2)^n) ist falsch, denn der Quotient 2^n/sqrt(2)^n=sqrt(2)^n->\inf für n->\inf.