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 Definition der Wahrscheinlichkeit |
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Chrysi
Aktiv 
Dabei seit: 05.11.2003
Mitteilungen: 399
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 |      Themenstart: 2012-07-19 14:38
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Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten auf einen gewissen Grenzwert. Diesen Wert bezeichnet man als Wahrscheinlichkeit.
Aber das Gesetz der großen Zahlen wurde nur empirisch gefunden. D.h. es ist nur ein Erfahrungssatz und man kann ihn nicht mathematisch beweisen.
Nun zu meiner Frage: Woher weiß man z.B., dass eine bestimmte Augenzahl bei einem Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 = 0,1666666... fällt?
Ich meine man kann den Stabilisierungswert doch garnicht exakt feststellen, weil man dafür eine unendlich lange Versuchsreihe ausführen müsste. Ansonsten wüsste man doch nicht, auf welchen Wert sich die relative Häufigkeit stabilisiert. Die relative Häufigkeit ist z.B. nach 1000 Würfen 0,1665 aber nicht 0,1666666....
Aber ich gebe zu, bei einem Würfel ist die Sache ja noch verständlich. Man sagt ja er hat 6 gleich große Seiten und jede Seite fällt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Also 1/6. Aber das ist doch auch noch kein Beweis, oder?
Eigentlich kann doch keiner mit wirklicher Gewissheit sagen, dass ein idealer Würfel die Wahrscheinlichkeit 1/6 hat (so unglaublich das auch klingen mag).
Was würdet ihr dazu sagen?
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Frieden ist wenn aus dem Quadrat die Wurzel gezogen wird.
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Radix
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Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 5041
Aus: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-19 15:16
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Hallo Chrysi!
Natürlich kann man das Gesetz der großen Zahlen beweisen, nur ist das für die Schule viel zu kompliziert. Einen Beweis findest du z. B. hier.
Unter der Voraussetzung, dass alle Würfelseiten gleich wahrscheinlich sind, lässt sich beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit 1/6 ist. Die Beweisidee hast du selbst schon angedeutet.
Mithilfe des Gesetzes der großen Zahlen folgt daraus, dass die relative Häufigkeit gegen 1/6 geht.
Gruß,
Radix
[ Nachricht wurde editiert von Radix am 19.07.2012 15:28:27 ]
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Redfrettchen
Senior
Dabei seit: 12.11.2005
Mitteilungen: 5641
Aus: Berlin
 | Beitrag No.2, eingetragen 2012-07-19 15:29
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Hallo,
meiner Auffassung nach ist der Wahrscheinlichkeitsbegriff sowieso nur in einem Modell der Wirklichkeit gültig. »Die 6 fällt mit Wahrscheinlichkeit 1/6 beim Wurf eines Würfels« ist keine Aussage über die Wirklichkeit, höchstens im Sinne von: »Die Erfahrung zeigt, dass die relative Häufigkeit des Auftretens der 6 beim Würfelwurf ungefähr 1/6 ist.« (Was auch immer »ungefähr« heißt.)
Bei der Modellierung eines Würfelwurfs sind die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse Postulate und nichts, was man beweisen könnte.
Viele Grüße,
Thomas
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Chrysi
Aktiv
Dabei seit: 05.11.2003
Mitteilungen: 399
Aus:
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-19 15:53
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Danke für die schnelle Antwort.
2012-07-19 15:16 - Radix in Beitrag No. 1 schreibt:
Natürlich kann man das Gesetz der großen Zahlen beweisen, nur ist das für die Schule viel zu kompliziert. Einen Beweis findest du z. B. hier.
Ok, aber bei dem Beweis wird ja schon der Wahrscheinlichkeitsbegriff verwendet (der steckt z.B. in den darin verwendeten Erwartungswerten).
In manchen Schulbüchern (z.B. Cornelsen) wird aber erst die Stabilisierung der relativen Häufigkeiten dargestellt und darauf aufbauend der Wahrscheinlichkeitsbegriff "definiert". Und wenn man das so macht glaube ich, dass man den Stabilisierungswert nicht beweisen kann, weil das sonst zu einem Zirkel führt (Stabilsierungswert => Wahrscheinlichkeit => Stabilisierungswert).
Wenn man andererseits (so wie in deinem Link) erst die Wahrscheinlichkeit festlegt, sehe ich das Problem, dass man nicht beweisen kann, dass die Wahrscheinlichkeit für eine geworfene Augensumme auf einem Würfel 1/6 beträgt. Es gibt doch die sogenannten Apriori-Wahrscheinlichkeiten (z.B. Wikipedia, ok doofe Quelle). Es wird allen Elementarereignissen die gleiche Wahrscheinlichkeit "zugeschrieben", solange es "keinen Grund" gibt der dagegen spricht. D.h. man nimmt nur an, dass die Wahrscheinlichkeiten alle gleich groß sind. Solange man kein Gegenargument findet. Aber nur weil man viele Argumente dafür findet heißt das nicht, dass es auch 1 Gegenargument gibt. Das ist also auch kein Beweis.
Unter der Voraussetzung, dass alle Würfelseiten gleich wahrscheinlich sind, lässt sich beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit 1/6 ist. Die Beweisidee hast du selbst schon angedeutet.
Mithilfe des Gesetzes der großen Zahlen folgt daraus, dass die relative Häufigkeit gegen 1/6 geht.
Genau, die gleiche Wahrscheinlichkeit für alle Würfelseiten ist eine Voraussetzung. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1. Also 1/6 pro Seite. Das ist auch eine Argumentation mit Apriori-Wahrscheinlichkeiten.
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Frieden ist wenn aus dem Quadrat die Wurzel gezogen wird.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Chrysi am 19.07.2012 15:55:07 ]
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gaussmath
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Dabei seit: 16.06.2007
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2012-07-19 15:57
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Das Würfel-Modell (wie Redfrettchen schon angedeutet hat) lässt sich mit dem Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum beschreiben. Zusammen mit der Potenzmenge als σ-Algebra und dem 3. Axiom für beliebige Ereignisse in Laplace-Räumen folgt die bekannte Abzählregel: Die W'keit eines Ereignisses ist der Quotient aus der Anzahl der günstigen Fälle und der Anzahl der möglichen Ergebnisse.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Chrysi
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Dabei seit: 05.11.2003
Mitteilungen: 399
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-19 19:37
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Danke für die Posts.
Man könnte die Wahrscheinlichkeit auch wörtlich nehmen.
Wenn man z.B. 100 mal eine Münze wirft, erhält man ca. 50 mal Zahl. Weitere Versuchsreihen erhärten diese Zahl.
Es scheint also wahr zu sein, dass das auch in zukünftigen Versuchsreihen zutreffen wird. Deshalb ist die Wahr-Schein-lichkeit der Versuchsreihe 50 %.
Ob sich die Wahrheit so darstellen wird oder ob es nur Schein ist stellt sich heraus, wenn man weitere Versuchsreihen durchführt.
Die Wahrscheinlichkeit ist also eine Vorhersage für zukünftige Ereignisse.
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Frieden ist wenn aus dem Quadrat die Wurzel gezogen wird.
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Ex_Mitglied_8798
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2012-07-19 20:07
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Hallo Chrysi,
das ist eine sehr interessante und intelligente Frage, die aber eher philosophischer als mathematischer Natur ist. Die Mathematik kann keine Antwort darauf geben. Du hast nämlich völlig recht, dass hier Empirie und Logik zu interferieren scheinen. Die empirische gefundene relative Häufigkeit ist ohne Weiteres streng von der Wahrscheinlichkeit der Kolmogoroffschen Axiome verschieden. (Das sieht man schon daran, dass diese relative Häufigkeit sich mit dem Verlauf des empirischen Experiments ändert.)
Die Frage scheint mir analog zur Frage zu sein, warum das Kausalgesetz gilt, und ob es ein empirischer Satz ist, oder nicht. Und darauf gibt es verschiedene Antworten. Die populärste ist wohl die transzendentallogische Erklärung Immanuel Kants: Das Kausalgesetz wäre demnach die Voraussetzung der Wahrnehmung. Ich würde das wie folgt interpretieren: Die Wahrnehmung der Welt wird gerade so eingerichtet, dass diese den Kausalgesetzen gehorcht. Wenn das Kausalgesetz verletzt scheint, ändern wir unser Konzept, und sehen die Gegenstände unserer Wahrnehmung beispielsweise als anders zusammengesetzt an. Ein Beispiel: Wir beschreiben Billardkugeln zuerst als punktförmige Massen. Das funktioniert super. Erst wenn Effee auftaucht, ändern wir unser Konzept davon, was eigentlich eine Billardkugel ist und beziehen die Ausdehnung, Drehmoment und Reibung der Kugel mit in unser Konzept von "Billardkugel" ein.
Wahrnehmung und Kausalgesetz und stehen damit in einem zirkulären Wechselverhältnis.
Das würde ich analog auf die Wahrscheinlichkeit übertragen: Wir nehmen an, dass ein symmetrischer Würfel laplacesch ist, dass also alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. (Wie dieser Schluss eigentlich zustande kommt, darüber grüble ich auch schon eine Weile.)
Wenn wir empirisch eine auffällige Abweichung von unserer Gleichverteilungs-Erwartung feststellen würden, dann würden wir anfangen, an der geometrischen Symmetrie des Würfels zu zweifeln. Wir würden den Würfel dann bspw. auf eine Unwucht hin überprüfen. Die Elemente unseres Wahrnehmungskonzepts wären dann nicht mehr die Seiten des Würfels, sondern die als identisch vorgestellten Massepunkte, aus denen wir uns den Würfel zusammengesetzt vorstellen würden. Ganz entsprechend würde sich auch der laplacesche Wahrscheinlichkeits-Raum ändern.[1]
Der Würfel ist der gleiche, aber wir würden wohl sagen, dass nun andere Eigenschaften wesentlich sind. Was das Wesen der Sache sein soll, kann natürlich niemand sagen, auch das liegt daran, dass das keine empirische Größe ist ist, sondern eben gerade ein Konzept, die Komposition der Erfahrungsgrößen bezeichnen soll.
Ich hoffe, das ist eine befriedigende Antwort für Dich.
Schöne Grüße,
Jonathan
[1] Das Beispiel leidet daran, dass ich diesen Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum nicht angeben kann, wer das nachholen kann, würde mir eine Freude machen.
[ Nachricht wurde editiert von Jonathan_Scholbach am 19.07.2012 20:18:15 ]
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Pearly
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| Beitrag No.7, eingetragen 2012-07-19 21:30
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Meine Gedanken hierzu:
Innerhalb der Mathematik können wir Begriffe wie Wahrscheinlichkeit usw. problemlos definieren und mit ihnen arbeiten, also Aussagen über sie treffen (Grenzwertsatz) oder neue Begriffe definieren. Der 'mathematischen' Würfel kann man definieren als ein Objekt, das bei einem Wurf jeweils zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 die Zahlen 1 bis 6 liefert.
Erst der Versuch, die mathematischen Begriffe mit unserer Erfahrungswelt in Übereinkunft zu bringen, macht Probleme. Erst einmal muss geklärt werden, was (in unserer Realität) Wahrscheinlichkeit sein soll. Falls die Bewegungsbahnen aller Teilchen im Universum determiniert sein sollten, ist das Ergebnis eines Münzwurfs überhaupt noch zufällig? Für denjenigen, der die Bewegungsbahnen kennt auf jeden Fall nicht. Zufall hat in der Realität immer etwas damit zu tun, was man weiß und was man nicht weiß, ist also etwas subjektives.
Chrysis Frage zielte jetzt darauf ab, wie man einem realen Zufallsversuch eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann, bzw. wie man sie definiert und misst. Dazu muss man die Modellannahme machen, dass sich die Realität im Rahmen einer uns ausreichenden Genauigkeit (die nicht konkret definiert werden kann, denn dazu bräuchte man wiederum neue Modellannahmen und das Spiel würde sich wiederholen) so verhält, wie es unser mathematisches Modell vorhersagt. In der Physik macht man das ständig. Insbesondere nehmen wir in diesem Fall an, dass der Wurf eines Würfels einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gehorcht.
Unter dieser Voraussetzung folgern wir, dass sich bei großer Wurfzahl die relative Häufigkeit eines Ereignisses der (als real postulierten) Wahrscheinlichkeit annähert. Aber auch so wird man nie diese Wahrscheinlichkeit messen können, da wir den Würfel nur endlich oft werfen können.
Bei einer praktischen Durchführung gibt es ohnehin das Problem, dass der Würfel nach vielen Würfen seine Form ändert und damit die Wahrscheinlichkeit der Augenzahlen. Wie will man aber feststellen, ob der Würfel beim zehnten Wurf eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung hat als beim elften? :P
[ Nachricht wurde editiert von Pearly am 19.07.2012 21:32:14 ]
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Ex_Mitglied_8798
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| Beitrag No.8, eingetragen 2012-07-19 21:45
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@Pearly: Was Du beschreibst, scheint mir darauf einzukochen, dass es eben eine Lücke zwischen Vorstellung und Wirklichkeit gibt, die durch Annahmen überbrückt wird. Die kritische Frage, die man meiner Meinung nach gern beantwortet haben will, ist doch die, warum die Wirklichkeit nach den Gesetzen der Vorstellung zu funktionieren scheint.
[ Nachricht wurde editiert von Jonathan_Scholbach am 19.07.2012 21:47:17 ]
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Chrysi
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Mitteilungen: 399
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-21 21:01
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@ Jonathan_Scholbach:
Zur Frage, warum die Wirklichkeit nach den Gesetzen der Vorstellung zu funktionieren scheint.
Wie bereits erwähnt, die Grundgesetze (oder Axiome) kann man nicht erklären. Z.B. sagt man, es gilt a+b = b+a. Das kann man sich an ein paar konkreten Zahlenbeispielen klar machen. Aber warum das gilt kann man nicht wissen, weil man dazu alle reellen Zahlen a, b in die Gleichung einsetzen müsste. Man sagt auch, nur ein höheres Wesen, das nicht der Zeit untorworfen ist könnte sagen, ob ein solches Grundgesetz gültig ist. Wir sind aber der Zeit unterworfen. Wir schaffen nur eine endliche Anzahl an Testeinsetzungen. Wir haben nur Kenntnis über die Fakten der Vergangenheit, die Zukunft ist für uns offen. Würde ein höheres Wesen die Gültigkeit eines solchen Grundgesetzes nachweisen, dann hätten wir den Beweis, dass die Gesetze nach der Vorstellung funktionieren.
Der Philosoph David Hume hat diesen Sachverhalt als Skepsis an der Existenz einer exakten Wissenschaft bezeichnet.
Er sagt wir Menschen wissen Dinge nicht wirklich, sondern glauben nur daran (belief). Und wir hätten uns an die Gesetze gewöhnt (customize oder so ähnlich) und würden sie deshalb nicht mehr weiter hinterfragen.
Kant hat einen Einwand gegen Humes Skepsis gebracht. Es existiert ja eine exakte Wissenschaft (Mathematik) und die Gesetze vertragen sich mit den Naturerscheinungen, die Wissenschaft ist erfolgreich. Hume stellt seine Skepsis so dar, dass der Mensch nur ein Wesen zweiter Klasse ist, dass nichts wirklich weiß. Kant dagegen schreibt dem Menschen besondere Merkmale zu, die nicht allen Wesen zukommen. Der Mensch hat eine Zeit (Anschauung. Der Raum gehört auch dazu). Erst das befähigt ihn zusammen mit seiner Fähigkeit zum Denken von den Fakten der Vergangenheit auf die Zukunft schließen zu können. Und zeitlich gesehen hat er die Möglichkeit die Wissenschaft abzuändern. Z.B. in der Physik: Die Quantentheorie hat das Bild der Physik geändert. Man ist ja nicht einfach bei der klassischen Physik geblieben und hat die Abweichungen von der Realität einfach hingenommen.
Ich hoffe Kants Intention einigermaßen richtig wiedergegeben zu haben. Über konstruktive Kritik wäre ich erfreut.
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[ Nachricht wurde editiert von Chrysi am 21.07.2012 21:03:27 ]
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Dune
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Mitteilungen: 694
Aus: Rostock
| Beitrag No.10, eingetragen 2012-07-22 02:57
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Hi Chrysi!
2012-07-21 21:01 - Chrysi in Beitrag No. 9 schreibt:
Wie bereits erwähnt, die Grundgesetze (oder Axiome) kann man nicht erklären. Z.B. sagt man, es gilt a+b = b+a. Das kann man sich an ein paar konkreten Zahlenbeispielen klar machen. Aber warum das gilt kann man nicht wissen, weil man dazu alle reellen Zahlen a, b in die Gleichung einsetzen müsste.
Tatsächlich kann man die reellen Zahlen konkret definieren und das Kommutativgesetz auch beweisen. Dafür benötigt man lediglich die Axiome der Mengenlehre. Du hast aber natürlich Recht, dass man in jedem Fall gewisse Axiome voraussetzen muss, die man nicht beweisen kann (hier z.B. ZFC).
Viele Grüße,
Dune
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Ballot
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Mitteilungen: 78
Aus: Frankreich
 | Beitrag No.11, eingetragen 2012-07-22 11:11
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"Wie bereits erwähnt, die Grundgesetze (oder Axiome) kann man nicht erklären. Z.B. sagt man, es gilt a+b = b+a." (Chrysi) Die Kommutativität der Addition ist weit davon entfernt, ein Axiom zu sein.
Du kannst die Addition (natürlicher Zahlen) als Zählvorgang auffassen. Dann kannst Du in der Tat zeigen (oder beweisen - ganz wie Du magst), daß dieser Vorgang kommutativ ist. Dazu braucht man nicht alle Fälle auszuprobieren, sondern kann das (auch konstruktiv) mit Hilfe der natürlichen Induktion machen.
Wenn Du die (ganzen, rationalen, reellen) Zahlen zusammen mit der Addition als Gruppe auffaßt, dann ist die Operation der Addition bereits als kommutativ definiert. Da gibt es nichts zu beweisen. Was sich als praktisch machbar herausgestellt hat, wird als Modell formuliert und erlaubt weitreichende Folgerungen, die, wie nicht anders zu erwarten, mit den Beobachtungen der Praxis übereinstimmen.
Hier zeigt sich eine interessante Analogie. (Axiomatische) mathematische Modelle für das Arbieten mit Wahrscheinlich bauen auf Erfahrungen der Alltagswelt auf, ohne diese als im strengen Sinne wahr vorauszusetzen. Alles weitere ist dann Mathematik, die sich als wunderbar anwendbar auf technische Probleme erweist. Solange das funktioniert, können wir uns den Kopf zerbrechen (und das durchaus mit Spaß am Denken und an der Sache), aber die Praxis der Anwendung interessiert das erst mal gar nicht : Der Schluß von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit funktioniert ohne Begründung dessen, was "Wahrscheinlichkeit" ist, genau so gut wie die Konstruktion künstlicher Satelliten, für die man auch "nur" die Gravitationsgesetze anzuwenden braucht, ohne wissen zu müssen, was Gravitation wirklich ist und woher sie kommt.
Ein Wort noch zu den sogenannten "Zufallsexperimenten", die uns relative Wahrscheinlichkeiten liefern (sollen). Das Ergebnis eines Münzwurfes ist nach unserem allgemeinen Verständnis durch die Anfangsbedingungen vollständig definiert, von möglichen äußerst seltenen Grenzfällen einmal abgesehen. Wie es nun Schützen gibt, die mit großer Sicherheit ein kleines Ziel zu treffen vermögen, so mag es Münzwerfer geben, die die Technik des Münzwurfes derart perfektioniert haben, daß sie in der Lage sind, ein bestimmtes Ergebnis bewußt herzustellen. Daß das in einem konkreten Fall nicht geschieht, weiß nur der Münzwerfer selbst, niemand sonst. Jeder, der ein sogenanntes "Zufallsexperiment" verfolgt, muß glauben, daß es sich um Zufall handelt und nicht um bewußte Herstellung von (nur zufällig erscheinender) Ergebnisse (s. sog. "Pseudozufallszahlengeneratoren").
Und da sind wir als Mathematiker schon weiter. Wir formulieren Modelle, die uns als gute Beschreibung der Erfahrungswelt erscheinen, und dann geht alles seinen unhintergehbaren, überprüfbaren, rationalen Gang.
[ Nachricht wurde editiert von Ballot am 22.07.2012 11:16:31 ]
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