Die Mathe-Redaktion - 22.05.2013 11:27
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    Analysis » Topologie » Offenheit zeigen    		Druckversion
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    Autor
    Universität/Hochschule J Offenheit zeigen
    Alaster
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2012-07-21 20:44


    Hi, ich habe eine Frage zu einer Metrik-Aufgabe. Sie lautet:
    Sei (M,d) ein metrischer Raum und sei \delta \colon M \times M \to \mathbb R durch
    \delta (x,y) := \frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}
    definiert. Man zeige:
    (a) Die Abbildung \delta ist eine Metrik auf M.
    (b) Eine Teilmenge U von M ist genau dann d-offen, wenn sie \delta-offen ist.

    (a) habe ich bereits erledigt, d.h. \delta ist wirklich eine Metrik auf M. Bei (b) muss ich zwei Richtungen zeigen. Bei der Hin-Richtung muss ich zeigen, dass für alle x_0 \in U ein \varepsilon > 0 existiert, so dass U(x_0,\varepsilon) \subset U ist, wobei
    U(x_0,\varepsilon) = \{x \in U \colon \delta(x_0,x) < \varepsilon\}. Meine Frage: Warum muss ich verwenden, dass U d-offen ist? Warum kann ich nicht einfach \varepsilon := 1 setzen? Dann wäre doch \delta(x_0,x) < \varepsilon?

    LG Alaster
    [ Nachricht wurde editiert von Alaster am 21.07.2012 20:45:00 ]

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    Wauzi
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-21 21:51


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    -----------------
    Nur noch Ferien......
    ...und der frühe Vogel kann mich mal
    [ Nachricht wurde editiert von Wauzi am 21.07.2012 21:52:46 ]

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    Alaster
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-21 23:26


    Hm, und wie soll ich das dann im Beweis verwenden? Also wie soll ich mein \varepsilon wählen?

    LG

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    Wauzi
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    Aus: Bayern
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2012-07-22 00:35


    Aus der Offenheit in der einen Metrik folgt die Existenz eines solchen Epsilon. Aus diesem wird über die Definition der anderen Metrik ein anderes errechnet, welches in der neuen Metrik für den Nachweis der Offenheit geeignet ist.
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    HellsKitchen
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    Aus: Fürth in Bayern
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2012-07-22 13:57


    Hi,

    diese Aufgabe - die häufig gestellt wird - soll zeigen, dass
    jede Metrik durch eine topologisch äquivalente Metrik mit
    kleinen Werten, hier zwischen [0,1[ , ersetzt werden kann.

    Gruss

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