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Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, die ich gelöst habe und wollte mal Fragen, ob der Lösungsweg so ok ist. 

Zeige: Es gibt ein \epsilon >0, so dass das Gleichungssystem
y^2-x^4+x^2 = t
x^6 - sqrt(y) = log(t)
für alle t\el\(1-\epsilon, 1+\epsilon\) eine eindeutige Lösung (x(t), y(t)) in  (1-\epsilon, 1+\epsilon)x(1-\epsilon, 1+\epsilon) besitzt. Zeige weiter, dass x(t) und y(t) differenzierbar sind und bestimme x'(1), y'(1).

Das hört sich ziemlich stark nach implizite Funktionen an, also habe ich folgendes gemacht:

Sei h:\IR^3->R, (x,y,z)\mapsto (y^2-x^4+x^2-t;x^6 - sqrt(y)-log(t)).
Nun habe ich mir einen Punkt(x,y,z) gesucht, der h(x,y,z)=0 erfüllt und bin auf (1,1,1) gekommen. Also ist h(1,1,1)=0. 
Desweiteren gilt 
Dh(x,y,z)=(2x-4x^3, 2y , -1;6x^5, -1/(2*sqrt(y)), -1/abs(t)) bzw.
Dh(1,1,1)=(-2, 2, -1;6, -1/2, -1).
Da ich ja nach (x,y) auflösen möchte betrachte ich die Matrix (-2,2;6,-1/2). Diese ist invertierbar, also gilt nach dem Satz über implizite Funktionen, dass offene Umgebungen U\subsetequal\ \IR^2 von (1,1) und V\subsetequal\ \IR von 1 ex. und eine stetig diffbare. Abbildung \phi :V->U für die gilt:
h(\phi(t),t)=0 für \forall\ t\el\ \IR

Da U eine offene Umgebung von (1,1) ist und V eine offene Umgebung von 1, lässt sich ein \epsilon >0 finden, sodass \phi eingeschränkt auf B_(\epsilon)(1) die Bedingung t\el(1-\epsilon, 1+\epsilon) mit \phi\(t)\el\(1-\epsilon, 1+\epsilon\)x(1-\epsilon, 1+\epsilon) erfüllt.

Desweiteren gilt für D\phi(1) = -(-2,2;6,1/2)^(-1)*(-1;-1). Das ist gleich D\phi(1)=(1/11)(1/2;8).
Also gilt für x'(1)=1/22 und für y'(1)=1/88

Gruß,
Gedro