Hallo,

''Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Nullstellen, Polstellen und Asympotten. Skizzieren Sie sodann aus diesen Angaben den Graphen.


a) f(x)=(2x-5)/(x-3) 

b) f(x)=(x^2-5x)/(x-4)


Anleitung:

Zu a) Berechnen Sie noch zusätzlich den Funktionswert f(0)

Zu b) Das Auffinden der Asymptote ist sehr schwierig. Ergänzen Sie im Zähler eine Zahl -b so, dass eine Zerlegung der Form (x+a)(x-4)+b möglich ist.



a) Die Nullstelle ist wohl 2,5, denn durch das Einsetzen von 2,5 für x in den Zähler führt dazu, dass der Zähler 0 wird, somit wird der gesamte Bruch 0.

Die Polstelle ist 3, weil D=\IR\\{3} sonst wird der Nenner 0 und das geht ja nicht.


Zu der Asymptote habe ich mir einiges angeschaut, allerdings verstehe ich die Vorgehensweise nicht ganz wie man auf die Asymptote kommen soll.

Laut Definition soll g(x) die Asymptote sein, wenn folgendes gilt:

lim(x->\inf,f(x)-g(x))=0 bzw. lim(x->-\inf,f(x)-g(x))=0


Wie soll das aussehen? Das was ich mir dabei denke ist garantiert falsch, denn einfach f(x) mit sich selbst subtrahieren und den Subtrahend g(x) nennen und dann 0 erhalten ist hier wohl nicht gemeint.

\
f(x)=(2-5/x)/(1-3/x) (für x!=0)
für x gegen +-\infty geht 5/x und 3/x gegen 0;  f(x) also gegen 2/1=2
damit hast du die waagerechte Assymptote y=2
du hast also das g(x)=2 oder wie in deiner Def
lim(x->\inf,f(x)-g(x))=lim(x->+-\inf,(2-5/x)/(1-3/x) -2)=0

In der Definition wird sicher g mindestens als ganz rational
vorausgesetzt. Beispielhaft führe ich den Tipp zu b) mal an
a) aus:

f(x) = (2*x-5)/(x-3) = (2*x-6+1)/(x-3) = (2*(x-3)+1)/(x-3) = 2+1/(x-3)

Die so gewonnene Darstellung von f beschreibt f als Summe eines
ganz rationalen und eines echt gebrochen rationalen Anteils.

Der ganz rationale Anteil ist nun die gesuchte Asymptote g(x)=2.

Die Differenz (f\-g)\.(x) ist offensichtlich der echt gebrochen
rationale Teil, der der Definition entsprechend gegen 0 konvergiert.
 
Lg, T.

Hallo

Ein Tipp:

(2*x-5)/(x-3)=2+1/(x-3)

Der Graph f(x) müsste schonmal durch den Punkt (2,5\|0) gehen, da die Nullstelle,  also y=0 entsteht, wenn x=2,5 ist. Dann zeichne ich weiterhin einfach so, dass man sieht, wie sich der Graph y=2 annähert, weil 2 ja die Asymptote ist. Ich soll ja nur skizzieren.

Sind die Überlegungen richtig?


Ich mache momentan AUfgabe b), dabei stelle ich mir die Frage was bei a) hier genau geschehen ist (2*(x-3)+1)/(x-3) = 2+1/(x-3). Ganz klar ist mir das nicht.

Hallo, es ist 2=2(x-3)/(x-3) für x<>3.
Viele Grüße,Sonnhard.

Dort:

(2*(x-3)+1)/(x-3) = 2+1/(x-3)

Hallo, es ist 2*(x-3)/(x-3)+1/(x-3)=2+2/(x-3), wie ich schon geschrieben habe.
Viele Grüße,Sonnhard.

Dann mal zu Aufgabe b)

b) f(x)=(x^2-5x)/(x-4)

f(x)=(x^2-5x)/(x-4)=(x^2-5*x)/(x-4)=(x^2-4-1*x)/(x-4)=(x-4)/(x-4)+(x^2-1)/(x-4)=(x-4)/(x-4)+(x^2*(-4))/(x*(-1))

Dann wäre 4 die Asymptote? Da sind sicherlich einige Fehler drin, aber es ist ein Ansatz.

\
Den Schritt
\red x^2-5x = x^2 - 4 - x
gibt es nicht, da i.A. -5x!= -4-x .
Entweder du führst eine kurze Polynomdivision durch, wie dir bereits oben empfohlen wurde, oder du beherzigst den Tipp des Aufgabensteller und ignorierst unbedingt das Wort ''schwierig'' in der Aufgabenstellung, denn hier ist nichts schwierig.
Es soll 
 (x+a)(x-4)+b = x^2 - 5x 
gelten, d.h. multipliziere die linke Seite aus und lies a und b ab.

((x+(-1))(x-4)+(-4))/(x-4)=(x^2-5x)/(x-4) So sollte das doch aussehen. Dann komme ich aber nicht weiter, das was ich bisher versucht habe scheitert, vielleicht sehe ich nach einer Pause die Möglichkeit.

\
Du solltest nicht nach jedem Gleichheitszeichen eine Pause einlegen, so wirst du ja nie fertig. 
Man muss lediglich den Bruch auseinanderziehen:
((x-1)(x-4)-4)/(x-4)=((x-1)(x-4))/(x-4) - 4/(x-4) = ?

((x-1)(x-4)-4)/(x-4)=((x-1)(x-4))/(x-4) - 4/(x-4) =x-1-4/(x-4)


Und nun?

Warum haben wir die Aufgabe nicht so wie im zweiten Beitrag gemacht? Wegen dem x^2 etwa?

(x^2-5x)/(x-4)

(x^2/x-5)/(1-4/x)-(-5)=0 geht also nicht, oder?



Na ja, also nach der letzten Rechnung soll die Asymptote -1 sein.
Wenn also (x^2-5x)/(x-4)-(-1)=0 wäre, so wäre -1 die Asymptote, oder wie? Wie prüft man das nun? Wie oben bei meiner Frage zum zweiten Beitrag?

(x^2/x-5)/(1-4/x)-(-1)=-4

\
Die Asymptote ist x-1, denn
(x-1-4/(x-4))-(x-1) = -4/(x-4)
und -4/(x-4) -> 0 für abs(x)->\inf.
Wenn -1 die Asymptote wäre, so müsste nach der oben von dir selbst gegebenen Definition ja x-4/(x-4) gegen 0 gehen, was aber offenbar nicht der Fall ist.
Das spezielle Vorgehen aus Beitrag 2 funktioniert nur, wenn Zähler und Nenner Polynome gleichen Grades sind.
Polynomdivision geht mechanisch und ist daher eigentlich vorzuziehen, unser Ergänzungsverfahren funktioniert aber in einfachen Fällen schneller.