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Im Ruhesystem soll die Viererkraft (0,F_0) lauten, wobei F_0 = dp/dt die Newton'sche Kraft im Ruhesystem ist.
Lorentztransformation auf ein mit Geschwindigkeit v bewegtes Bezugsystem führt zunächst auf 
(\g v/c F_0\|\|, \g F_0\|\|+F_0\bot)
wobei \|\| bzw. \bot parallel bzw. senkrecht zur Boostrichtung bezeichnen.
Die Wurzel allen Übels ist, dass F_0 durch eine Ableitung bzgl. der Zeit im Ruhesystem des Teilchens definiert ist, die Beziehung aus wikipedia jedoch von einer Kraft f spricht, die eine Ableitung bzgl. der Zeit im bewegten System ist.
Wenn man Zeit und Muße hat, das alles nachzurechnen \(wozu ich nicht unbedingt rate), so erhält man dabei die Beziehung f_\|\|=F_0\|\| und f_\bot=1/\g F_0\bot und damit 
(\g v/c f_0\|\|, \g f).

Hallo PhotonX,
Zur Beweisführung steht Genaueres, wie Max Cohen schon erwähnt hat, im Greiner.  Die Matrizen der Lorentztransformation haben 6 Generatoren, dabei sind 3 Lorentz\-Boosts und 3 Rotationen der Raumkoordinaten. Rein mathematisch sind alles Drehungen. Die Drehungen im Raum sind spezielle orthogonale Transformationen, die setzen sich so zusammen, wie ich es beschrieben habe. Die Lorentz\-Boosts sind Pseudo\-Drehungen, die sind gegen Vertauschung der Indizes symmetrisch. 

Wenn man das ganze im unitären Raum  (x,y,z,ict)  betrachtet, sind alles unitäre Drehungen, für die gilt

\Lambda^(-1) = (\Lambda^-)^T

Aus dieser allgemeinen Formel kann man sowohl die Generatoren für die Rotation als auch die für die Pseudo\-Drehung ableiten. Das steht in einschlägigen Büchern über lineare Algebra. Im Fall der Raumdrehungen bekommt man für jeweils zwei Raum\-Koordinaten

(\cos \phi,\-sin \phi;\sin \phi, \cos \phi)

im Fall der Pseudo-Drehung \(Lorentz\-Boosts) bekommt man für  jeweils Raum und Zeit

( \cosh \phi,-\sinh \phi;-\sinh \phi, \cosh \phi)

Mein Ansatz aus Beitrag 12 enthielt nur die Raumdrehungen, weil Du die Raum\-Zeit\-Pseudo\-Drehungen ja schon selbst betrachtet hattest.

Im Moment hab ich wenig Zeit, daher kann ich nicht alles detailliert aufschreiben. Schau in den Greiner Band 6.


Viele Grüße

holsteiner

Hallo PhotonX,
Es ist möglich dass es vom Greiner verschiedene Auflagen gibt. Ich hab noch mal nachgeschaut, meine  Version ist nicht Band 6 , sondern  Band 3a von 1984. Hmm... Möglicherweise wurde das Buch überarbeitet. Die allgemeine Lorentztransformation für 4 Koordinaten  ist auf Seite 268 beschrieben.

Um zu zeigen, dass die Vierervektoren invariant sind, verwende ich eine etwas andere Vorgehensweise als dort beschrieben. Ich versuche, alle Generatoren der Lorentztransformation auf Drehungen zurückzuführen. Drehungen im Allgemeinen sind Elemente der speziellen orthogonalen Gruppen. 

Für diese Drehungen oder orthogonalen Transformationen gilt, dass die Determinante 1 ist, und damit ist Deine Frage eigentlich schon beantwortet. Drehungen lassen die Länge eines Raumvektors eben wegen dieser Eigenschaft konstant. Nun ist es ganz angenehm, dass auch die Raum\-Zeit\-Drehungen, also die Generatoren der eigentlichen Lorentztransformation, diese Eigenschaft haben und Pseudodrehungen sind. Sie haben eben auch die Determinante =1. Am einfachsten zeigt man dies zunächst in 2 Dimensionen einmal für zwei Raumkoordinaten und einmal für eine Raum und eine Zeitkoordinate.

Zunächst zu den Drehungen im Raum. Im Prinzip ist der Raum gegen eine Drehung des Koordinatensystems invariant, wenn Du Deinen Kopf 
drehst hast Du eine andere Perspektive, aber die Welt bleibt dieselbe. Das wird in zwei Dimensionen beschrieben durch die Matrix

(x';y') = (cos(\phi),-sin(\phi);sin(\phi), cos(\phi)) (x;y)

oder für i,j \in {x,y} für 2 Dimensionen

x'_i = D_i^j(\phi) x_j

Für 3 Raumdimensionen erhält man eine aus 3 Drehungen zusammengesetzte Transformation für i,j \in {x,y,z }.

x'_i = DXY_i^k(\phi_xy) * DYZ_k^l(\phi_yz) * DXZ_l^j(\phi_xz) x_j

Ein Ergebnis der linearen Algebra ist, dass die aus den drei Drehmatrizen zusammengesetzt Matrix insgesamt aus einer Diagonalmatrix \alpha_i^j und einer schiefsymmetrischen Matrix \omega_i^j besteht.

D_i^j = \alpha_i^j + \omega_i^j

wobei die für die Matrizen

\omega_i^j  = - \omega_j^i  und  \alpha_i^j = \alpha_i \delta_i^j

gilt.

Nun zur eigentlichen Lorentztransformation, also den Raum\-Zeit\-Pseudodrehungen. Wir betrachten den Generator für eine Raum und eine Zeitkoordinate x und t. Es ist

x' = (x - vt)/\sqrt(1-v^2/c^2)

y' = (t - xv/c^2)/\sqrt(1-v^2/c^2)

zunächst setzen wir ganz einfach

v/c = tanh(\phi)

dann ergibt sich durch einfaches umrechnen

cosh(\phi) = \gamma =  1/ sqrt(1-v^2/c^2)

und

sinh(\phi) = \gamma v/c =  v/(c sqrt(1-v^2/c^2))

Damit wird die Lorentztransformation ganz einfach

x' = 1/cosh(\phi) (x - tanh(\phi) ct)
ct^' = 1/cosh(\phi) (-tanh(\phi) x + ct)

oder noch einfacher in Matrix\-Schreibweise der linearen Algebra

(x';ct') = ( cosh(\phi),-sinh(\phi);-sinh(\phi), cosh(\phi)) (x;ct)

mit

\phi = arctanh(v/c)

Das erinnert aber nun doch ganz stark an Drehungen, nun es sind ja auch Pseudodrehungen. Die Determinante der Matrix ist 1. Die Pseudodrehungen sind aber symmetrisch, was Dein ursprüngliches Problem etwas verschärft.

Wenn ein Inertialsystem also eine andere Geschwindigkeit hat, dann sieht der Betrachter was anderes, vergleichbar damit, wenn man den Kopf dreht, dann sieht man auch was anderes. Relativistisch gesehen ist das Drehen des Kopfes in eine andere Richtung und das Fahren mit dem Zug dasselbe. Hmm... Nun ja, nicht ganz.

Es bleibt zu zeigen, dass Pseudodrehungen auch Drehungen sind. Das gelingt leicht,  denn wir wissen nun, mit einfacher Mathematik folgt

sin(\phi) = i sinh (i\phi)
cos(\phi) = cosh(i\phi)

Eine Pseudodrehung ist eine Drehung um einen imaginären Winkel. Dazu müssen wir aber die Zeitkordinate in eine imaginäre Koordinate umwandeln. Wir setzen ein:

(x';ct') = (cos(i\phi),i sin(i\phi);i sin(i\phi),cos(i\phi)) (x;ct)

Wenn wir jetzt die Zeitkoordinate in eine imaginäre Koordinate verwandeln haben wir

(x';ict') = (cos(i\phi),-sin(i\phi);sin(i\phi), cos(i\phi)) (x;ict)

und unsere Pseudodrehung wird in eine Drehung um einen imaginären Winkel verwandelt.

Während es in 3 Dimensionen 3 Generatoren für die Drehungen gibt, gibt es in vier Dimensionen 6 verschiedene Generatoren. Die allgemeine Lorentztransformation besteht nun aus drei Raumdrehungen und drei Raum\-Zeit\-Drehungen. Im einen Fall wird reell, im anderen Fall um imaginärem Winkel oder mit Hyperbelfunktionen gedreht.

\Lambda_i^j=(DXY_i^m(\phi_xy)\.DYZ_m^r(\phi_yz)\.DXZ_r^s(\phi_xz))\.(DXT_s^l(i\phi_xt)\.DYT_l^n(i\phi_yt)\.DZT_n^j(i\phi_zt))

Jetzt kann man das alles Komponente für Komponente ausrechnen, entweder mit v_i/c sowie \gamma, oder mit cosh(\phi) und sinh(\phi) oder mit cos(i\phi) und sin(i\phi) hinschreiben, man wird aber auch nicht glücklicher davon. Rein mathematisch gewinnt man nichts.

Jedenfalls enthält der \omega_(ij) Term aus Beitrag 12 nur die räumlichen schiefsymmetrischen Anteile. Wesentlich ist, dass die Lorentzgruppe Drehungen mit der Determinate 1 enthält, also spezielle orthogonale Transformationen.

Zurück zu den v^i v_j. Wenn man die ganze allgemeine Matrix für \Lambda_i^j in ihre Diagonalanteile, ihre schiefsymmetrischen Drehanteile und in die symmetrischen Anteile für die Raum\-Zeit\-Pseudodrehungen aufteilt, bekommt man Deine Formeln.

v_i v_j bedeutet also nichts anderes als die Multiplikation von zwei Generatoranteilen sinh(\phi_i) sinh(\phi_j), die aus unterschiedlichen Pseudodrehungen stammen und noch mit Anteilen von räumlichen Drehungen z.B. sin(\phi) multipliziert wurden.

Ich bleibe bei meiner Darstellung, dass Du die Raum\-Zeit Transformationen in Beitrag 2 schon rausgerechnet hast und die übriggebliebenen Transformationen schiefsymmetrische Drehungen sind.

v_i v_j = \delta_ij v_i v_j + \omega_ij v_i v_j

mit \omega_ij = -\omega_ji

Vielleicht werden meine Bemerkungen jetzt etwas klarer.


Viele Grüße

holsteiner

Drehung = (1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,i)^(-1)* (Pseudodrehung) *  (1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,i)