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   Anzahl der p-Sylowgruppen von symmetrischen Gruppen S_n |
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Eeni
Junior 
Dabei seit: 19.12.2007
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 |      Themenstart: 2012-07-31 14:47
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Hi,
ich schaue zurzeit Algebraprüfungsprotokolle durch und da kommt oft Beispielfragen vom Typ: Wie groß ist die Anzahl der p-Sylowgruppen der symmetrischen Gruppen S_n?
Konkrete Beispiele:
1. Anzahl der 3-Sylowgruppen von S_6
2. Anzahl der 5-Sylowgruppen von S_5
Es gibt in den Protokollen auch Hinweise, wie gelöst wurde, aber die kann ich nicht nachvollziehen:
1. Anzahl der 3-Sylowgruppen von S_6
" " [?]
2. Anzahl der 5-Sylowgruppen von S_5
"(5-2)!=3! --> #S_5=5!=120=5*4! [?]
Die 5-Sylowgruppen werden von den 5-Zykeln erzeugt. [soweit klar]
Davon gibt es 4! verschiedene. [scheint irgendwie intuitiv, aber kann das jemand ausführen?]
Je 4 5-Zykel (+ die Identität) erzeugen eine 5-Sylowgruppe. [?]
Also gibt es 3! 5-Sylowgruppn in S_5. (Die Folgerung ist klar]"
Hat jemand eine Ahnung was da gemacht wurde und könnte die Lösungsansätze ausführlicher erklären?
Inwieweit sind die Lösungsansätze auf andere Beispiele übertragbar?
Einmal wird auch gefragt: "Wieviele Elemente hat die p-Sylowgruppe von SL(F_p)?"
Kann mir jemand sagen was SL( ) ist?
Grüße und Danke im Voraus
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Schachus
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| Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-31 21:43
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zu 1.Man überlege sich, dass alle 3-Sylowgruppen von zwei disjunkten 3er Zyklen erzeugt wird.(Das kannst du machen). Dann gibt es 6über 3 Möglichkeiten, die 3 Elemente des ersten erzeugenden Zykels zu wählen. Damit liegt dieser Zykel fest(bis auf Inversenbildung, da es nur zwei 3-Zykel auf 3Elementen gibt, die invers zueinander sind. Der andere Zyklus ist auch bestimmt, da es einer der beiden Zyklen af den 3verbleibenden Elementen ist. Jetzt haben wir aber doppelt gezählt, wir hätten ja auch den zweiten Erzeuger zuerst wählen können, also teilt man nochmal durch 2.
zu 2. Sag ich vielleicht später was, wenn ich diesen Post erstmal abgeschickt habe.
SL ist die spezielle lineare Gruppe, die Gruppe der invertierteren nxn Matrizen mit Determinante 1.
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Eeni
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 13:28
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Danke für die Antwort.
Hab eine Weile gebraucht, aber bis auf den ersten Satz hab ich jetzt alles verstanden.
Warum gibt es keine 3-Untergruppen der Ordnung 3, sondern nur der Ordnung 9? Also warum gibt es keine Gruppen die nur von einem einzigen 3-Zykel erzeugt werden?
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Schachus
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| Beitrag No.3, eingetragen 2012-08-01 14:55
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Na weil 9 die größte Dreierpotenz ist, die die Gruppenordnung, also 6! teilt, also haben die 3-Sylowgruppen die Ordnung 9.
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Eeni
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 16:14
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Stimmt, die Maximalitätsbedingung die eine p-Untergruppe zur p-Sylowgruppe macht vergisst man leicht.
Bei der 2. Aufgabe bi ich immmer noch nicht weitergekommen.
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Schachus
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| Beitrag No.5, eingetragen 2012-08-01 16:26
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Die zwiete Aufgabe macht für mich ehrli h gesagt auch keinen Sinn, da die Ordnung der SL eigentlich nicht durch p teilbar sein dürfte(und zwar nie), sollte es auch keine p-Sylowgruppen geben. Es könnte sein, dass das einfach die Antwort ist, oder die Aufgabe ist irgendwie anders gemeint...
Edit: ich sehe gerade, dass du mit 2. auch die andere Aufgabe gemeint haben könntest...
[ Nachricht wurde editiert von Schachus am 01.08.2012 16:30:19 ]
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Eeni
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 16:32
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Die Frage nach SL war eigentlich nur ein Nebenschauplatz und hatte mit der eigentlichen Frage nichts zu tun.
Die 2. Frage war: Wieviel 5-Sylowgruppen hat S_5?
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Schachus
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| Beitrag No.7, eingetragen 2012-08-01 16:40
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Also schreibe ich zu der 5 er Aufgabe noch was. Die Lösung steht ja schon im Startbeitrag, also nur noch Anmerkungen. Das es 4! 5er Zykel gibt, kann man sich so überlegen: Es gibt 5! Möglichkeiten die 5 Elemente zu Permutieren, also einen Zyklus in Zykelschreibweise zu erzeugen. Nun ist aber (a b c d e) der gleiche Zyklus wie (b c d e a) und wie ( c d e a b) und so weiter. Das sind 5 Darstellungen für jeden Zyklus, also haben wir alle 5 Mal gezählt. Daher teilen wir durch 5 und es gab 4! 5er Zykel.
Im nächsten Satz ist "erzeugen" keine gute Wortwahl. Der Erzeuger der Gruppe bildet zusammen mit seiner zweiten, dritten und vierten Potenz, die ebenfalls 5er Zyklen sind, und der Identität diese Gruppe.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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Eeni
Junior
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 17:22
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Cool, jetzt hab die Stoßrichtung der Ansätze verstanden und werde versuchen sie anzuwenden, wenn ich auf andere Aufgaben von dem Typ stoße.
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