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 Zerfällungskörper des Polynoms X^5+X+1 über F_2 |
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zahlenteufel89
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 |      Themenstart: 2012-07-31 15:13
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Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe zu lösen: ''Konstruieren Sie einen ZErfällungskörper des Polynoms f=X^5+X+1 über \IF_2.'' Bei der Bestimmung von Zerfällungskörpern in \IQ habe ich eigentlich keine Probleme, aber hier habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen muss. Als Tipp habe ich erhalten, dass ich f in (X^3+X^2+1)(X^2+X+1) zerlegen soll. Dass die Zerlegung so stimmt, kann ich nachvollziehen, aber ich hätte doch auch ursprünglich schon keine Nullstellen über \IF_2 gehabt? Nun muss ich irgendwie mit dem Grad der Faktoren argumentieren, aber ich verstehe nur Bahnhof! Kann mir jemand helfen?
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mathor
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-31 15:34
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Hallo Zahlenteufel und willkommen auf dem MP,
der Grad des Zerfällungskörper des quadratischen Polynoms über dem Grundkörper ist 2, und jener des kubischen Polynoms ist 3 (ist nur trivial, wenn man weiss, dass alle endliche Körpererweiterungen über endlichen Körper normal (genauer sogar zyklisch) sind). Damit solltest Du zumindest auf den Grad des gesuchten Körpers kommen und auch zwei Erzeuger angeben können.
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Viele Grüße
mathor
[ Nachricht wurde editiert von mathor am 31.07.2012 15:48:57 ]
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-31 19:54
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Hey, danke für deine Antwort! Können wir vlt mal ganz von vorne beginnen als hätte ich den Hinweis nicht?! Eigentlich würde ich doch jetzt nach nullstellen in F2 suchen, die ich nicht finde! Wieso hier nicht?
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Buri
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2012-07-31 21:18
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2012-07-31 19:54 - zahlenteufel89 in Beitrag No. 2 schreibt:
... würde ich doch jetzt nach nullstellen in F2 suchen, die ich nicht finde! Hi zahlenteufel89,
es gibt keine Nullstellen, also ist die Suche danach erfolglos beendet.
Die einfachsten Körpererweiterungen konstruiert man mit Hilfe von symbolischer Adjunktion, das heißt, man "erfindet" künstlich die Nullstellen, die es nicht gibt.
Für den Erfolg dieses Vorgehens ist aber ein irreduzibles Polynom Bedingung, und daher steht ganz am Anfang die Frage, ob das gegebene Polynom irreduzibel ist, und wenn nicht, wie es über F2 in Faktoren zerfällt.
Dies ist durch den Hinweis nahegelegt, und nun muß man den Körper F2 Schritt für Schritt erweitern, also einen "Körperturm" konstruieren, und bei jedem Schritt überprüfen, ob man fertig ist.
Gruß Buri
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-31 23:09
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Ok danke, das verstehe ich! Danke! Wie kann ich jetzt zeigen, dass diese beiden polynome irreduzibel sind? Mit eisenstein komm ich hier ja nicht weiter! Im Internet habe ich oft gelesen, dass über den Grad argumentiert wird! Worauf das allerdings beruht und wie genau das funktioniert, weiß ich nicht! Bin sehr dankbar für weitere Hilfe!
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undertow
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| Beitrag No.5, eingetragen 2012-08-01 00:13
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Mach dir folgende Aussage klar: Ist ![f \in k[X]](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/2b1cb4d0dfc3e2156e1fe24b50e2f2ef.png "f \in k[X]") ein Polynom über einem Körper  mit  , so ist  genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstellen hat.
[ Nachricht wurde editiert von undertow am 01.08.2012 00:14:24 ]
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 08:02
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Ok, die Aussage ist mir zwar neu, klingt aber logisch :-) ein reduzibles polynom 2. Grades müsste ja in zwei lineare Faktoren (X-a)(X-b) zerfallen, wobei a,b NST. Ein reduzibles polynom dritten Grades kann entweder in drei lineare Faktoren zerfallen (s.o.) oder in ein quadratisches und ein lineares, wobei das lineare dann auch wieder X-NST sein müsste!
Soweit richtig? Jetzt müsste ich meinen Körper ja um die NST dieser irreduziblen polynome erweitern, aber wie ich das in dem Fall machen kann, ka!
Vielen Dank für eure bisherige Hilfe
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Martin_Infinite
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2012-08-01 09:36
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LutzL
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2012-08-01 09:49
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\ Du suchst Dir eine Körpererweiterung, in welcher a eine Nullstelle von X^2+X+1 ist und b eine von X^3+X^2+1. Also z.B,. \IF_2\.[a,b]\/(a^2+a+1,b^3+b^2+1) Nach den Vietaschen Wurzelsätzen ist a^2=1+a die zweite Nullstelle des quadratischen Polynoms, a*(1+a)=a^2+a=1, und nach Polynomdivision bzw. den dritten binomischen Formeln ergibt sich für den quadratischen Faktor des kubischen Polynoms X^3+X^2+1-(b^3+b^2+1)=(X-b)*(X^2+bX+b^2+X+b), also 0=X^2+(1+b)X+b^2+b für die verbleibenden zwei Nullstellen. Mit etwas Suchen findet man b^2 und b^4=1+b+b^2 als die zwei weiteren Lösungen.
Ciao Lutz
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 02.08.2012 11:17:25 ]
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 11:40
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Pfh ok, also wenn ich eure Antworten mal zusammen nehme: Ich betrachte als erstes K_1:=\IF_2 [A]//(A^3+A^2+1) Und K_2:=\|F_2 [B]//(B^2+B+1) Erstmal zu K_2: also nach Definition habe ich bereits eine NST nämlich B. Wie komm ich jetzt weiter? Ich sehe noch nicht wie ich hier Vieta nutzen kann, um die anderen beiden nullstellen zu bekommen.
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LutzL
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| Beitrag No.10, eingetragen 2012-08-01 12:06
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Hi,
die Summe der Nullstelle muss 1 sein (1=-1 in IF_2).
Ciao Lutz
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 12:44
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Ja das ist mir bewusst, aber wie komme ich von A+x=-1=1 in F2 auf x=A^2?
Sorry, aber irgendwie steh ich gerade auf dem Schlauch!
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LutzL
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| Beitrag No.12, eingetragen 2012-08-01 12:57
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Hi,
erstmal ist, wegen 2=0, x=1-A=1+A, und dann wegen A^2+A+1=0 auch 1+A=A^2. Das geht immer, weil die Erweiterung zyklisch ist.
Mir ist auch so, aber das wissen andere vermutlich genauer, dass in einer irreduziblen Erweiterung von IF_2 mit p(A)=0 auch p(A^2)=0, und in Konsequenz auch p(A^4)=0 etc. gilt.
Ciao Lutz
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Dune
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| Beitrag No.13, eingetragen 2012-08-01 13:02
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Moin zahlenteufel89,
kleiner Hinweis zur Nullstellensuche:
wenn  Nullstelle eines Polynoms über  ist, dann sind  ebenfalls Nullstellen. Falls das Polynom irreduzibel über ist, so erhält man alle Nullstellen auf diese Weise.
Das liegt an der Tatsache, dass die Abbildung  in jedem endlichen Erweiterungskörper von ein Automorphismus ist, der (nur) den Grundkörper fest lässt.
Ein analoges Argument gilt in jedem endlichen Körper.
Viele Grüße,
Dune
PS @Martin: Über einen Artikel zu "Algebra über endlichen Körpern" würde ich mich sehr freuen. Innerhalb endlicher Körper gibt es nun einmal viele Tricks und Kniffe, die in unendlichen Körpern so nicht möglich sind, weshalb sie in Algebra-Vorlesungen meist nicht behandelt werden.
[ Nachricht wurde editiert von Dune am 01.08.2012 13:14:28 ]
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 13:34
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Ok, vielen Dank Dune, das erleichtert die ''Suche'' ja enorm! Also ich habe jetzt B und B^2 als NST des Polynoms B^2+B+1 in K_2 und analog A, A^2 und A^4 in K_1! Hm nur wie weiter? Ist damit K_2:=\|F_2 [B]//(B^2+B+1) ~= \IF_4=\|F_(2^2) Zerfällungskörper von B^2+B+1?
Also ich habe jetzt B und B^2 als NST des Polynoms B^2+B+1 in K_2 und analog A, A^2 und A^4 in K_1!
Hm nur wie weiter?
Ist damit K_2:=\|F_2 [B]//(B^2+B+1) ~= \IF_4=\|F_(2^2) Zerfällungskörper von B^2+B+1?
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Dune
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| Beitrag No.15, eingetragen 2012-08-01 14:28
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Nach dem, was du bisher gezeigt hast, müsstest du diese Frage unmittelbar selbst beantworten können. Prüfe die Definition eines Zerfällungskörpers nach.
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 14:39
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Ja L/K Zerfällungskörper von p, wenn alle NST von p aus K[X] in L liegen und L diesbezüglich minimal ist.
Meine Frage unten bezog sich eher auf die Isomorphie?!
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Dune
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| Beitrag No.17, eingetragen 2012-08-01 14:51
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Die Isomorphie ist korrekt, denn endliche Körper mit gleicher Mächtigkeit sind immer isomorph.
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 15:58
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.19, eingetragen 2012-08-01 16:48
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2012-08-01 13:02 - Dune in Beitrag No. 13 schreibt:
PS @Martin: Über einen Artikel zu "Algebra über endlichen Körpern" würde ich mich sehr freuen. Innerhalb endlicher Körper gibt es nun einmal viele Tricks und Kniffe, die in unendlichen Körpern so nicht möglich sind, weshalb sie in Algebra-Vorlesungen meist nicht behandelt werden.
Ok. Ich sehe schon, dass man darauf dann gut hier im Forum verweisen kann. Die Einleitung habe ich schon geschrieben *g*
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Dune
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| Beitrag No.20, eingetragen 2012-08-01 16:57
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Du gehst schon richtig vor. mit ![[\mathbb{F}_4:\mathbb{F}_2]](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/ee553d9a56d18977c342ac5a1cf6adc5.png "[\mathbb{F}_4:\mathbb{F}_2]") und ![[\mathbb{F}_8:\mathbb{F}_2]](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/89bd572b1afca3468f24ce83315b4f2e.png "[\mathbb{F}_8:\mathbb{F}_2]") hast du zwei Teiler von ![[L:\mathbb{F}_2]](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/207b5ed7a307ac24bcf21b07517c70a4.png "[L:\mathbb{F}_2]") gegeben. Wie du richtig erkannt hast, ist das Kompositum ein kleinster Oberkörper. Da du alle endlichen Körper mit Charakteristik 2 kennst, wähle einfach den kleinsten, der diese Teiler-Bedingungen erfüllt. Wenn du nachweisen kannst, dass dieser  und  als Unterkörper enthält, bist du fertig.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 17:02
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Ja das Vorgehen verstehe ich, aber ich weiß leider nicht, wie ich die Teiler bestimme, also den Grad der jeweiligen Körpererweiterung!
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Dune
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| Beitrag No.22, eingetragen 2012-08-01 17:11
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Ich bin mir sicher, du weißt, wie man an den Grad der Erweiterung kommt. Lass dich nicht davon verwirren, dass die Körper hier endlich sind - das Vorgehen ist das gleiche wie über  .
Schlage die Definition des Grades nach und schau dir einige elementare Sätze über den Zusammenhang zwischen algebraischen Elementen, Minimalpolynomen und dem Grad von Körpererweiterungen in deinem Skript an.
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 21:37
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Also ich habe folgendes Lemma gefunden:
Sei K Körper, f e K[x] irreduzibles polynom. Dann gibt es einen injektiven Körperhomomorphismus K -> L:= K[x]/(f) und f besitzt eine nullstelle in L als polynom in L[x]. Es gilt [L:K]=deg(f).
Das heißt also für K1 wäre der Grad der Körpererweiterung 3 und für K2 2?
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Dune
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| Beitrag No.24, eingetragen 2012-08-01 21:45
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-01 22:04
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Super :-) D.h. jetzt dass der Grad der Körpererwieterung "insgesamt" 6 sein muss, oder? Aber wie kann ich das jetzt mit F2 in Verbindung bringen? Also wie kann ich daraus jetzt explizit den Zerfällungskörper bestimmen?
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Dune
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| Beitrag No.26, eingetragen 2012-08-01 22:10
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.27, eingetragen 2012-08-01 22:27
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2012-08-01 22:04 - zahlenteufel89 in Beitrag No. 25 schreibt:
Also wie kann ich daraus jetzt explizit den Zerfällungskörper bestimmen?
Gegenfrage (siehe auch mein erster Beitrag): Was heißt hier präzise "explizit bestimmen"? In welcher Form willst du den Zerfällungskörper da stehen haben? Wenn das noch nicht geklärt ist, ist die Suche sinnlos (weil ohne Ziel).
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 01.08.2012 22:29:42 ]
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zahlenteufel89
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| Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-02 08:38
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Ja de Aufgabe lautet ja "Bestimmen Sie den Zerfällungskörper von ..."
Also wenn ich weiß, dass die Erweiterung Grad 6 hat, ist dann die Körpererweiterung F_(2^6)=F_64?
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.29, eingetragen 2012-08-02 08:58
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Ja, genauer gesagt wird sie dann dazu isomorph sein (weil ja endliche Körper bereits durch ihre Mächtigkeit bis auf Isomorphie bestimmt sind). Bloß wie gesagt müsste man erst einmal klar sagen, dass man das mit "Bestimmung" meint, weil es schließlich auch andere Darstellungsformen des Zerfällungskörper gibt (zum Beispiel ganz stumpf als  , wobei  die Nullstellen von ![X^5+X+1 \in \mathbb{F}_2[X]](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/255788b7676969674d13212e50256178.png "X^5+X+1 \in \mathbb{F}_2[X]") in einem fixierten algebraischen Abschluss  sind; wenn man damit noch nicht zufrieden ist, muss dies begründet werden). Diese Kritik richtet sich nicht an dich, sondern den Aufgabensteller (wäre nett, wenn du das weiterleitest).
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 02.08.2012 09:04:58 ]
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.30, eingetragen 2012-10-07 19:51
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2012-08-01 13:02 - Dune in Beitrag No. 13 schreibt:
PS @Martin: Über einen Artikel zu "Algebra über endlichen Körpern" würde ich mich sehr freuen. Innerhalb endlicher Körper gibt es nun einmal viele Tricks und Kniffe, die in unendlichen Körpern so nicht möglich sind, weshalb sie in Algebra-Vorlesungen meist nicht behandelt werden.
Der Artikel ist nun fertig. In Beispiel 4.4. bespreche ich auch ausführlich den Zerfällungskörper von ![x^5+x+1 \in \mathbb{F}_2[x]](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/1f1b29b05edfb2cfbd05f862290e5b36.png "x^5+x+1 \in \mathbb{F}_2[x]") .
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