Ich bezeichne mit W_1 und W_2 die Ergebnisse der beiden Versuche, es sind unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in menge(1,2,3,4,5,6) und derselben Verteilungsfunktion F.
Diese Funktion lautet F(x)=sum(p_j,j=1,x) für x=0,1,2,3,4,5,6, wobei p_j=\IP(X=j) für j=1,2,3,4,5,6 die Einzelwahrscheinlichkeiten sind.
Der Zufallsvektor (X_1\,X_2) entsteht aus (W_1\,W_2), indem man W_1 und W_2 der Größe nach ordnet.
Es gibt zwei Möglichkeiten: W_1<=W_2 und W_1>W_2\..
Nun berechne ich die gemeinsame Verteilung:
\IP(X_1<=x_1\.,X_2<=x_2)
=\IP(W_1<=x_1\.,W_1<=W_2<=x_2)+\IP(W_2<=x_1\.,W_2<W_1<=x_2)
=sum(p_k*sum(p_j,j=1,min{x_1\,k}),k=1,x_2)+sum(p_j*sum(p_k,k=1,min{x_1\,j-1}),j=1,x_2)
=fdef(sum(p_k*sum(p_j,j=1,k),k=1,x_1)+sum(p_k*sum(p_j,j=1,x_1),k=x_1+1,x_2)+sum(p_j*sum(p_k,k=1,j-1),j=1,x_1)+sum(p_j*sum(p_k,k=1,x_1),j=x_1+1,x_2), wenn x_1<x_2;sum(p_k*sum(p_j,j=1,k),k=1,x_2)+sum(p_j*sum(p_k,k=1,j-1),j=1,x_2), wenn x_1>=x_2)
=fdef(sum(p_k*F(k),k=1,x_1)+sum(p_k*F(x_1),k=x_1+1,x_2)+sum(p_j*F(j-1),j=1,x_1)+sum(p_j*F(x_1),j=x_1+1,x_2), wenn x_1<x_2;sum(p_k*F(k),k=1,x_2)+sum(p_j*F(j-1),j=1,x_2), wenn x_1>=x_2)
=fdef(2*(F(x_2)-F(x_1))*F(x_1)+sum(p_k*(F(k)+F(k-1)),k=1,x_1), wenn x_1<x_2;sum(p_k*(F(k)+F(k-1)),k=1,x_2), wenn x_1>=x_2)
Wegen p_k=F(k)-F(k-1) läßt sich die Summe umformen zu sum(F(k)^2-F(k-1)^2,k), und damit ergibt sich
=fdef(2*(F(x_2)-F(x_1))*F(x_1)+F(x_1)^2, wenn x_1<x_2;F(x_2)^2, wenn x_1>=x_2),

\IP(X_1<=x_1\.,X_2<=x_2)
=\IP(min{W_1\,W_2\.}<=x_1\.,max{W_1\,W_2\.}<=x_2)
=fdef(\IP((W_1<=x_2)\and(W_2<=x_2))-\IP((x_1<W_1<=x_2)\and(x_1<W_2<=x_2)), wenn x_1<x_2;\IP(W_1<=x_2\and W_2<=x_2), wenn x_1>=x_2)
=fdef(F(x_2)^2-(F(x_2)-F(x_1))^2, wenn x_1<x_2;F(x_2)^2, wenn x_1>=x_2),
und das führt zum gleichen Ergebnis wie im Beitrag \#5.

Man kann aus der Formel übrigens die Randverteilungen der Zufallsvariablen X_1 und X_2 ablesen:
\IP(X_1<=x)=2F(x)-F(x)^2 ist die Verteilung von X_1 und
\IP(X_2<=x)=F(x)^2 ist die Verteilung von X_2\..

Der Fall W_1<=W_2

=\IP(W_1<=x_1\.,W_1<=W_2<=x_2)
=\IP(W_1<=x_1)\IP(W_1<=W_2<=x_2) (Unabhängigkeit)
Jetzt nahm ich an \IP(W_1<=W_2<=x_2) entspräche F(x_2)=sum(p_k,k=1,x_2), falls dem so ist, warum entspricht \IP(W_1<=x_1) gleich sum(p_j,j=1,min{x_1\,k})?

fdef(\IP((W_1<=x_2)\and(W_2<=x_2))-\IP((x_1<W_1<=x_2)\and(x_1<W_2<=x_2)), wenn x_1<x_2;\IP(W_1<=x_2\and W_2<=x_2), wenn x_1>=x_2) habe ich mir wieder anhand deiner Beschreibung der günstigen Fälle erklärt. Hast du für die Gleichheit

\IP(min{W_1\,W_2\.}<=x_1\.,max{W_1\,W_2\.}<=x_2)
=fdef(\IP((W_1<=x_2)\and(W_2<=x_2))-\IP((x_1<W_1<=x_2)\and(x_1<W_2<=x_2)), wenn x_1<x_2;\IP(W_1<=x_2\and W_2<=x_2), wenn x_1>=x_2)
noch eine andere Beschreibung? Denn ich weiß nicht wie man die Terme ineinader umformt.

Im nächsten Schritt wendest du die Unabhängigkeit an und setzt bspw. \IP((W_1<=x_2)\and(W_2<=x_2))=F(x_2)F(x_2)? Das geht in diesem Fall weil in der Zerlegung \IP((W_1<=x_2)\and(W_2<=x_2))-\IP((x_1<W_1<=x_2)\and(x_1<W_2<=x_2)), wenn x_1<x_2, nicht berücksichtigt werden  muss das W_1<=W_2 wie es bei \IP(W_1<=x_1\.,W_1<=W_2<=x_2) der Fall war. 

Sei E=menge((W_1\,W_2) | (min{W_1\,W_2\.}<=x_1)\and(max{W_1\,W_2\.}<=x_2)) das gewünschte Ereignis und
G=menge((W_1\,W_2) | (W_1<=x_2)\and(W_2<=x_2)).
Dann gilt einerseits E\subseteq G und andererseits
G \\ E=menge((W_1\,W_2) | (x_1<W_1<=x_2)\and(x_1<W_2<=x_2)).
Also gilt \IP(E)=\IP(G)-\IP(G \\ E),