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Gegeben sei die Funktion F: \IR^2 -> \IR^2, F(x,y) = (cos(x)cosh(y), sin(x)sinh(y))
Berechnen Sie dF und finden Sie Punkte, an denen dF invertierbar ist. 
Untersuchen Sie außerdem die lokalen Extrema von F_1 = cos(x)cosh(y).


Den zweiten Teil der Aufgabe hab ich wie folgt gelöst:

1. kritische Stellen mit der notwendigen Bedinung gradF_1=(0;0)

\pd_x \ F_1 = -sin(x)cosh(y)
\pd_y \ F_1 = cos(x)sinh(y)

=> gradF_1 = (-sin(x)cosh(y);cos(x)sinh(y))

Da der Cosinus Hyperbolicus keine Nullstellen hat, folgt dass F(0,0) die einzige kritische Stelle ist.

2. Aufstellen der Hessematrix:

\pd_xx \ F_1 = -cos(x)cosh(y)
\pd_yy \ F_1 = cos(x)cosh(y)
\pd_xy \ F_1 = -sin(x)sinh(y) ( = \pd_yx\ <= Lemma von Schwarz)

Also folgt HessF_1 =(-cos(x)cosh(y), -sin(x)sinh(y);-sin(x)sinh(y), cos(x)cosh(y))
HessF_1(0,0) = (-1,0;0,1)

det(HessF_1(0,0)) < 0 da es einen positiven und einen negativen Eigenwert gibt und somit ist die Matrix indefinit.
Folglich ist an der Stelle kein Extremum (höchstens ein Sattelpunkt).

Dieser Teil ist soweit korrekt, oder?

Beim ersten Teil bin ich mir halt unsicher, wie genau ich da vorzugehen hab. Wäre F: \IR^2 -> \IR, dann wäre dF ja definiert als 
dF = \pd_x \ F dx + \pd_y \ F dy. Bei einer Funktion, die wieder nach \IR^2 abbildet, bin ich mir aber unsicher, wie ich vorzugehen hab.
Meine erste Vermutung wäre jetzt die Jacobi-Matrix, allerdings wüsste ich nicht direkt wie ich, nachdem ich die Matrix aufgstellt hab, weitermachen soll. Außerdem ist die Jacobi-Matrix ja auch eher als ''gesamte'' Ableitung der Funktion zu interpretieren und nicht nur als partielle (die sind ja ''nur'' in der Matrix enthalten). Von daher wäre dieser Schritt noch nicht mal unbedingt analog zu \IR^2 -> \IR Abbildungen.


Und bei der Frage wie ich dann auf die Invertierbarkeit schließen kann, bin ich grade völlig überfragt. Das einzige, was mir da jetzt theoretisch einfällt, wäre eine darstellende Matrix der Funktion aufzustellen und diese auf Invertierbarkeit zu prüfen, aber ich bin mir eigentlich fast 100% sicher, dass das nicht der richtige Weg sein kann. Denn selbst wenn das möglich ist, muss es doch einen Weg mit deutlich weniger Arbeit geben...