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 Alternativer Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik |
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Eeni
Junior 
Dabei seit: 19.12.2007
Mitteilungen: 10
Aus:
 |      Themenstart: 2012-08-02 17:51
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Hi,
ich hab mir heute den Fundamentalsatz der Arithmetik angeschaut habe mir einen Beweis überlegt, der von den Standardbeweisen abweicht. Ich find ihn aber schön, weil intuitiver und besser zu merken.
Passt das so oder sind irgendwo Denkfehler?
Vorbemerkung: Ich habe zwei Definitionen für Primzahlen zur Verfügung:
1. 
2. 
Existenz: Benutze Def 1
Die Umkehrung von Def 1 sagt mir: Sei  , falls z keine Primzahl, dann ist sie durch zwei kleinere natürliche Zahlen darstellbar: 
Was wir auf z angewendet haben, wenden wir auf a und b an. Das gibt dann eine Zerlegung mit Baumstruktur. Für die Enden der Äste gibt es nur zwei Möglichkeiten:
1. ein Ast endet mit einer Primzahl
2. ein Ast ist unendlich
Das zweite ist unmöglich, weil n endlich ist. Also enden alle Äste irgendwann auf einer Primzahl. Die sammeln wir ein und bekommen eine Primfaktorzerlegung von n.
Eindeutigkeit: Benutze Def 2
Sei  eine Pfz (=Primfaktorzerlegung) von n.
Sei  eine beliebige Primzahl einer anderen Pfz. Mit der Existenzaussage folgt 
Mit Def 2 haben wir  oder 
Das iterieren wir durch:
Vorbereitung (nur Umbenennung sodass wir die  nicht vergessen): 
For 
if 
then 
end for
Wegen Def 2 landen wir für irgendein i einen Treffer. Daraus (und wegen dem "beliebig" von oben) können wir schließen, dass sich alle Primfaktorzerlegungen von n aus der gleichen Menge von Primzahlen zusammensetzen. Jetzt mussen wir nur noch zeigen, dass die zugehörigen Exponenten auch gleich sind.
Wir nehmen an in der Pfz(1) kommt  vor und in Pfz(2) kommt  mit  vor.
Dann teilen wir beide Pfz sowie n durch  . Damit bekommen wir ein  mit zwei verschiedenen Pfz von denen in der einen Pfz  vorkommt und in der anderen Pfz nicht vorkommt. Das steht im Widerspruch zu dem was wir oben schon bewiesen haben, also müssen die entsprechenden Exponenten in den Pfz auch gleich sein.
Damit ist die Pfz eindeutig.
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Eeni
Junior 
Dabei seit: 19.12.2007
Mitteilungen: 10
Aus:
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-02 17:53
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Fundamentalsatz:
Jede natürliche Zahl n lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Darstellung ist eindeutig, wenn die Primfaktoren der Größe nach sortiert werden.
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ZetaX
Senior 
Dabei seit: 24.01.2005
Mitteilungen: 2057
Aus: Wenzenbach
| Beitrag No.2, eingetragen 2012-08-02 18:26
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Damit dieser Beweis korrekt ist, musst du noch die Äquivalenz zwischen deinen beiden Definitionen zeigen. Du kannst dir nicht einfach immer die Definition nehmen, die gerade besser passt.
Hat man besagte Äquivalenz, so handelt es sich fast wörtlich um den mir bekannten Standardbeweis, welcher sich auch gut auf Primideale in Dedekindringen verallgemeinert (siehe dazu Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, kapitel 1.3).
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 20152
Aus: Wien
 | Beitrag No.3, eingetragen 2012-08-09 23:49
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Hallo Eeni!
2012-08-02 18:26 - ZetaX in Beitrag No. 2 schreibt:
Damit dieser Beweis korrekt ist, musst du noch die Äquivalenz zwischen deinen beiden Definitionen zeigen.
Das reicht hier aber nicht, weil keine der zwei Definitionen mit dem Üblichen übereinstimmt:
Demnach wäre 1 (entgegen der heute üblichen Konvention) eine Primzahl:
Es handelt sich ja um eine natürliche Zahl (ob man nun 0 zu N zählt oder nicht), und offenbar läßt sie sich nicht in zwei kleinere zerlegen (denn entweder gibt es gar keine kleineren oder deren Produkt wäre gleich 0 - also nicht gleich 1).
Was Du hier stattdessen meinst, ist die auch als Irreduzibilität bezeichnete Eigenschaft, die man (auf den Dich interessierenden Fall der Beschränkung auf natürliche Zahlen gemünzt) so formulieren könnte:
  
\ \ll(1')n\el\IN_(\void\ >=2) irreduzibel :<=> \forall\ a,b\el\IN: (ab=n => (a=1\or\ b=1)) Gleichwertig damit ist die \(näher an Deine Version angelehnte) folgende Variante: \ll(1'')Eine von \(0 und) 1 verschiedene natürliche Zahl heißt irreduzibel, wenn sie sich nicht als Produkt von zwei kleineren natürlicher Zahlen darstellen läßt.
Gleiches gilt auch für deine zweite Definition:
Weil 1 jede natürliche Zahl teilt, teilt sie auch a. Also ist 1 prim.
Darüber hinaus ist aber auch die Formulierung " " nicht ganz angemessen. Du meinst hier offenbar:
\ \ll(2')n\el\IN_(\void\ >=2) prim :<=> \forall\ a,b\el\IN: (n\|ab => (n\|a\or\ n\|b))
Mit dieser Eigenschaft (wenn ein Produkt geteilt wird, dann auch ein Faktor) werden in allgemeineren Zahlenbereichen die sog. Primelemente charakterisiert. Man kann (2') (was auch oft getan wird) gut als Definition von "prim" wählen.
Wie schon gesagt wurde, bliebe dann aber zu zeigen, daß die gemäß (2') primen Zahlen genau die gemäß (1'') irreduziblen sind (was natürlich etwas mehr ist als (1') statt (1'') zu verwenden, wo die Definition der Irreduzibiltät näher am Üblichen liegt).
Daß irreduzible Zahlen prim sind, ist übrigens keine Selbstverständlichkeit. In anderen Ringen als Z gibt es auch Gegenbeispiele dafür.
Aber auch davon mal ganz abgesehen muß Dein Beweis fehlerhaft sein, weil er ja die Eindeutigkeit unter der impliziten Voraussetzung, daß 1 prim sei, beweist (obwohl man dann natürlich aus einer Darstellung durch Hinzufügen des Faktors 1 stets eine andere erhielte). Es wird eine gute Übung für Dich sein, die fehlerhaften Stellen aufzuspüren.
Liebe Grüße, Franz
[Verschoben aus Forum 'Zahlentheorie' in Forum 'Zahlen - Darstellbarkeit' von fru]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 10.08.2012 02:32:01 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 03.11.2012 11:56:57 ]
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Eeni
Junior
Dabei seit: 19.12.2007
Mitteilungen: 10
Aus:
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-10 11:50
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Danke Franz, bei beiden Definitionen muss die Bedingung n>1 dazu.
Ich hab jetzt mal einen Beweis für die Äquivalenz der beiden Definitionen aufgeschrieben:
Hinrichtung: 
Sei n prim nach Charakterisierung 1.
Seien weiterhin  sodass 
Teilt n das a oder das b, sind wir fertig mit der Hinrichtung. Also prüfen wir noch den anderen Fall: Annahme: 
Nach Voraussetzung (Char 1) dürfen nicht a und b gleichzeitig kleiner als n sein. Sei ObdA a nicht kleiner als n, also ist a>n.
Rückrichtung: 
Sei n prim nach Charakterisierung 2.
Sei weiterhin 
 es können nicht r und k gleichzeitig kleiner als n sein.
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Eeni
Junior
Dabei seit: 19.12.2007
Mitteilungen: 10
Aus:
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-03 11:53
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Hab noch einen Fehler in dem 2. Teil des Beweises der Eindeutigkeit gefunden:
Man teilt nicht durch sondern durch  . Dann stimmen auch die restlichen Aussagen:
Damit bekommen wir ein  mit zwei verschiedenen Pfz von denen in der einen Pfz vorkommt und in der anderen Pfz nicht vorkommt. Das steht im Widerspruch zu dem was wir oben schon bewiesen haben, also müssen die entsprechenden Exponenten in den Pfz auch gleich sein.
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