MP-Forum: arg(1-exp(it))=(t-pi)/2 ?? (Matroids Matheplanet)

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Analysis » Komplexe Zahlen » arg(1-exp(it))=(t-pi)/2 ??

Autor

arg(1-exp(it))=(t-pi)/2 ??

muffinmaster23
Junior

Dabei seit: 06.08.2012
Mitteilungen: 8
Aus:

Themenstart: 2012-08-06 11:33

Hallo liebe Matroids-User!

Ich sitze gerade an der schriftlichen Ausarbeitung meines Proseminar-Vortrages und würde diesen jetzt eigentlich gerne abschicken. Da ist nur ein Problem: Mir fehlt immer noch eine Gleichheit, die ich einfach nicht bewiesen bekomme.
Folgendes steht in der Literatur:

$arg(1-e^{it})=\frac{t-\pi}{2}$

Aber warum ist das so und wie genau kann ich das zeigen?
Ich habe mir gestern bereits mit einem Bekannten Rücksprache gehalten, der mir erstmal die Argumentfkt. richtig erklärt hat, den genauen Rechenweg hat er mir aber leider auf Anhieb auch nicht liefern können.
Mein jetziger Ansatz:

$arg(1-e^{it})=arg(-e^{i\pi}-e^{it})=...=arg(e^{\frac{t-\pi}{2}})=\frac{t-\pi}{2}$

Vielmehr springt bei meinem begrenzten Wissen über die Fkt. leider nicht raus.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen!

Martin_Infinite
Senior

Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 33136
Aus: Münster

Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-06 12:18

Hallo. Versuche einmal, die Additionstheoreme und $\exp(it)=\cos(t)+i \cdot \sin(t)$ zu benutzen, anschließend die Definition von arg. Dann sollte es da stehen. Auf jeden Fall muss man aber noch eine Einschränkung an t machen, weil das Argument ja immer in $[0,2\pi[$ liegt.

muffinmaster23
Junior

Dabei seit: 06.08.2012
Mitteilungen: 8
Aus:

Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06 12:53

Danke erstmal für die Antwort!
Und für den Hinweis, denn $t\in(0,2\pi)$ ist Voraussetzung, dass habe ich leider in der Frage vergessen.

Wenn wir das Ganze mal reduzieren auf den Beweis von $1-e^{it}=e^{\frac{t-\pi}{2}$ , dann komme ich leider an der Stelle immer noch nicht weiter:

$1-e^{it}=-e^{i\pi}-e^{it}=-\cos(\pi)-i\sin(\pi)-\cos(t)-i\sin(t)=-(\cos(\pi)+\cos(t))-i(\sin(\pi)+\sin(t))=-(2\cos(\frac{\pi+t}{2})\cos(\frac{\pi-t}{2}))-i(2\sin(\frac{\pi+t}{2})\cos(\frac{\pi-t}{2}))=...=e^{\frac{t-\pi}{2}$

Ich verstehe leider auch nicht ganz, wo und wie ich da die Additionsteoreme gebrauchen soll.

MrBean
Senior

Dabei seit: 06.04.2010
Mitteilungen: 5595
Aus: Muldenhammer(Sachsen), Deutschland

Beitrag No.3, eingetragen 2012-08-06 13:37

Hallo

mfgMrBean
[ Nachricht wurde editiert von MrBean am 06.08.2012 13:58:48 ]

Martin_Infinite
Senior

Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 33136
Aus: Münster

Beitrag No.4, eingetragen 2012-08-06 14:04

$1-e^{it}=e^{\frac{t-\pi}{2}$ stimmt nicht (und hat niemand behauptet), weil die linke Seite nicht Betrag 1 hat. Wie gesagt solltest du die Definition des Argumentes benutzen (die MrBean für dich noch einmal aufgeschrieben hat).

LutzL
Senior

Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 8811
Aus: Berlin-Mahlsdorf

Beitrag No.5, eingetragen 2012-08-06 14:06

Hi,

oder einfacher,

Differenzen oder Summen von Exponentialen im Exponenten ausbalanzieren und dann zu Sinus oder Kosinus zusammenfassen.

Ciao Lutz

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von LutzL am 06.08.2012 14:07:12 ]

muffinmaster23
Junior

Dabei seit: 06.08.2012
Mitteilungen: 8
Aus:

Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06 14:17

Aber ich bin doch in einer Gleichheit, ich kann doch nicht plötzlich mit dem Tangens der ganzen Geschichte weiterrechnen.

Es ist doch aber so, dass $arg(e^{ix})=x$ und das lässt sich dann doch zurückführen auf $\frac{t-\pi}{2}=arg(e^{i\frac{t-\pi}{2}})$ . Und nach Vor. gilt doch $arg(1-e^{it})=\frac{t-\pi}{2}$ . Daraus folgt doch, dass wenn die Beh. stimmt (was sie tut), dass $arg(1-e^{it})=arg(e^{i\frac{t-\pi}{2}})$ .

Wo geht das Ganze denn kaputt?

Inwieweit war denn meine Rechnung mit den Add.theor. richtig?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

MrBean
Senior

Dabei seit: 06.04.2010
Mitteilungen: 5595
Aus: Muldenhammer(Sachsen), Deutschland

Beitrag No.7, eingetragen 2012-08-06 14:24

Hallo

Doch du kannst mit dem tan weiterrechnen.

mfgMrBean

muffinmaster23
Junior

Dabei seit: 06.08.2012
Mitteilungen: 8
Aus:

Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06 14:27

@ Lutz:

Danke Dir, dass verstehe ich schon eher.

Deine letzte Zeile sieht schon sehr vielversprechend aus, leider ist mir nicht ganz klar, warum du jeweils so umschreiben darfst, wie du es tust.

muffinmaster23
Junior

Dabei seit: 06.08.2012
Mitteilungen: 8
Aus:

Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06 14:43

@ MrBean:

Aber dann befinde ich mich doch nicht mehr in der Gleichheit und die soll ja nunmal gezeigt werden.

Oder wie ist das gedacht mit dem tan? An welcher Stelle sollte ich damit denn ansetzen?

PhysikRabe
Senior

Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1043
Aus:

Beitrag No.10, eingetragen 2012-08-06 14:50

Wende auf beiden Seiten der Gleichung $arg(1-e^{it})=\frac{t-\pi}{2}$ die Tangens-Operation an und verwende dann die Identität aus Beitrag No. 3, um die Gleichheit zu zeigen.

Grüße

-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca

muffinmaster23
Junior

Dabei seit: 06.08.2012
Mitteilungen: 8
Aus:

Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06 15:03

Dann komme ich zu irgendwas in der Art:

$tan(arg(1-e^{it})=\frac{sin(t)}{1-cos(t)}=...=\frac{-cos(\frac{t}{2})}{sin(\frac{t}{2})}=\frac{sin(\frac{t-\pi}{2})}{cos(\frac{t-\pi}{2})}=tan(\frac{t-\pi}{2})$

Und nun?
[ Nachricht wurde editiert von muffinmaster23 am 06.08.2012 15:05:50 ]

LutzL
Senior

Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 8811
Aus: Berlin-Mahlsdorf

Beitrag No.12, eingetragen 2012-08-06 15:08

und Potenzrechenregeln.

Ciao Lutz

MrBean
Senior

Dabei seit: 06.04.2010
Mitteilungen: 5595
Aus: Muldenhammer(Sachsen), Deutschland

Beitrag No.13, eingetragen 2012-08-06 15:44

2012-08-06 15:03 - muffinmaster23 in Beitrag No. 11 schreibt:
Dann komme ich zu irgendwas in der Art:

$tan(arg(1-e^{it})=\frac{sin(t)}{1-cos(t)}=...=\frac{-cos(\frac{t}{2})}{sin(\frac{t}{2})}=\frac{sin(\frac{t-\pi}{2})}{cos(\frac{t-\pi}{2})}=tan(\frac{t-\pi}{2})$

Und nun?
[ Nachricht wurde editiert von muffinmaster23 am 06.08.2012 15:05:50 ]

Das sollte eigentlich offensichtlich sein.

mfgMrBean

PhysikRabe
Senior

Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1043
Aus:

Beitrag No.14, eingetragen 2012-08-06 16:02

2012-08-06 15:03 - muffinmaster23 in Beitrag No. 11 schreibt:
Dann komme ich zu irgendwas in der Art:

$tan(arg(1-e^{it})=\frac{sin(t)}{1-cos(t)}=...=\frac{-cos(\frac{t}{2})}{sin(\frac{t}{2})}=\frac{sin(\frac{t-\pi}{2})}{cos(\frac{t-\pi}{2})}=tan(\frac{t-\pi}{2})$

Und nun?
[ Nachricht wurde editiert von muffinmaster23 am 06.08.2012 15:05:50 ]

Wieso "und nun"? Wenn du aus $tan(arg(1-e^{it}))$ mittels Umformungen auf $tan(\frac{t-\pi}{2})$ gekommen bist, dann hast du die Gleichung bewiesen.

Grüße
Rabe

-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca

Buri
Senior

Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 34976
Aus: Dresden

Beitrag No.15, eingetragen 2012-08-06 21:46

2012-08-06 16:02 - PhysikRabe in Beitrag No. 14 schreibt:
... dann hast du die Gleichung bewiesen.

Hi muffinmaster23 & PhysikRabe,
noch nicht ganz.
Die Schwierigkeit besteht doch darin, dass man aus einer Gleichung
tan(u) = tan(v)
die Gleichung u = v folgern möchte, und das geht nur, wenn man beweist, dass u und v beide im Intervall (0,Pi] oder beide im Intervall (-Pi,0] liegen. Es sind also Betrachtungen über das Vorzeichen nötig.
Das Argument φ = arg(z) einer komplexen Zahl z ≠ 0 ist so definiert, dass es diejenige eindeutig bestimmte reelle Zahl

siehe hier.
Das stimmt mit den Festlegungen der mir bekannten Programmiersprachen und Computer-Algebra-Systeme überein, es ist aus vielen Gründen unzweckmäßig, das Intervall [0, 2 Pi) zu benutzen, auch ist diese Festsetzung in der Computer-Hardware bei dem Maschinenbefehl FPATAN der Intel- und kompatiblen Prozessoren verewigt, der in einem Schritt zu einem Zahlenpaar (x,y) den zugehörigen Polarwinkel berechnet.
Gruß Buri

muffinmaster23
Junior

Dabei seit: 06.08.2012
Mitteilungen: 8
Aus:

Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06 21:52

Ich habe das Ganze jetzt wie folgt gelöst.

Danke nochmal für eure Mühen!

$\arg(1-\mathrm e^{it})\\ =\arg((\mathrm e^{-i\frac t2}-\mathrm e^{i\frac t2})\cdot \mathrm e^{i\frac t2})\\ =\arg((\underbrace{\cos\left(-\frac t2\right)+i\sin\left(-\frac t2\right)-\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)}_{=\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)-\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)})\cdot \mathrm e^{i\frac t2})\\ =\arg(-2i\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{i\frac t2}) =\arg(2\sin\left(\frac t2\right)(-i)\mathrm e^{i\frac t2})\\ =\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{-i\frac \pi2}\mathrm e^{i\frac t2}) =\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{-i\frac \pi2+i\frac t2})\\ =\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{i\frac{t-\pi}{2}}) =\frac{t-\pi}{2}$

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]

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