| Autor |
  Wann besitzt eine Menge Extrempunkte? |
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Chris311
Aktiv 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 6509
Aus: Karlsruhe
 |      Themenstart: 2012-08-06 18:25
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\ Hallo, wann besitzt eine Menge Extrempunkte? Liebe Grüße Chris
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Ich höre, und vergesse.
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Konfuzius
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Chris311
Aktiv 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 6509
Aus: Karlsruhe
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06 18:34
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Ich versuche es mal, die Menge muss kompakt und konvex sein.
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LutzL
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Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 8751
Aus: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.2, eingetragen 2012-08-06 20:53
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Hi,
was verstehst Du unter Extrempunkten? Es gibt Minima und Maxima und es gibt die Verallgemeinerung von Eckpunkten konvexer Polyeder. Das eine muss mit dem anderen nichts zu tun haben.
Aber auf konvexen und kompakten Mengen ist die Menge der Minima einer konvexen Funktion wieder eine konvexe Teilmenge des Randes, die dann unter anderem Eckpunkte enthält.
Ciao Lutz
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 34671
Aus: Dresden
 | Beitrag No.3, eingetragen 2012-08-06 21:02
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2012-08-06 18:34 - Chris311 in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich versuche es mal, die Menge muss kompakt und konvex sein. Hi Chris311,
wie LutzL schon sagt, Extrempunkte gibt es nur bei Funktionen.
Für Mengen heißt das Extremalpunkte, und darüber gibt es den klassischen Satz von Krein-Milman in lokalkonvexen topologischen Vektorräumen, speziell also in endlichdimensionalen Vektorräumen:
Jede konvexe kompakte Menge ist die Abschließung der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte.
Folgerung:
Jede nichtleere konvexe kompakte Menge besitzt Extremalpunkte.
Solch ein Ergebnis kann man nicht dadurch bekommen, dass man "nur mal kurz darüber nachdenkt", wie du dir das vorstellst, sonst wäre der Satz nicht mit solch berühmten Namen verbunden.
Sondern man muß diesen Satz kennen und anwenden, sonst hat man als gewöhnlicher Mathematiker keine Chance.
Man kann die Behauptung für endlichdimensionale Räume noch ein wenig verallgemeinern:
Auch konvexe und abgeschlossene Mengen, die keine Gerade enthalten, haben Extremalpunkte, dies folgt aus einer entsprechenden Verallgemeinerung des Satzes von Krein-Milman.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 06.08.2012 21:57:33 ]
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Chris311
Aktiv
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 6509
Aus: Karlsruhe
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06 21:20
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Vielen Dank für Eure Hilfe euch beiden.
Das hat meine Fragen voll und ganz geklärt.
Es hat mich nur am Rande interessiert und ich meinte mit Extrempunkten Eckpunkte, also Punkte, die sich nicht als echte konvexe Linearkombination zweier Punkte darstellen lassen.
Liebe Grüße
Chris
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egndgf
Senior
Dabei seit: 06.01.2006
Mitteilungen: 6836
Aus: Mindelheim
 | Beitrag No.5, eingetragen 2012-08-06 21:24
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2012-08-06 21:02 - Buri in Beitrag No. 3 schreibt:
Für Mengen heißt das Extremalpunkte, und darüber gibt es den klassischen Satz von Krein-Milman in lokalkonvexen topologischen Vektorräumen, speziell also in endlichdimensionalen Vektorräumen:
Jede konvexe kompakte Menge ist die konvexe Hülle ihrer Extremalpunkte. Hallo,
man braucht den Abschluss der konvexen Hülle der Extremalpunkte.
MfG
egndgf
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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 34671
Aus: Dresden
| Beitrag No.6, eingetragen 2012-08-06 21:56
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2012-08-06 21:24 - egndgf in Beitrag No. 5 schreibt:
... man braucht den Abschluss der konvexen Hülle der Extremalpunkte. Hi egndgf,
oh ja, danke. Ich habe es ergänzt.
Im unendlichdimensionalen Fall muß man die konvex-abgeschlossene Hülle nehmen, nur im endlichdimensionalen Fall ist die Abschließung nicht nötig, siehe hier.
Gruß Buri
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