n!<((n+1)/2)^n

Mein bisheriger Ansatz war:

<=>n!2^n<(n+1)^n
<=>n!2^n<sum((n;k)n^(n-k),k=0,n)  (nach dem binomischen Lehrsatz)
<=>n!2^n<sum((n!/k!(n-k)!)n^(n-k),k=0,n)
<=>2^n<sum((1/k!(n-k)!)n^(n-k),k=0,n)

Diese Aussage habe ich dann versucht mit Induktion zu beweisen. Bin daran aber gescheitert weil die Aussage für n+1 nicht auf den Induktionsanfang zurückführen ließ.
Die Aufgabe muss aber eigentlich relativ einfach zu lösen sein, da sie sich auf einem der ersten Blätter zu Analysis I befand. 
Kann mir jemand sagen, was ich übersehe, das wäre sehr nett.

Viele Grüße

Es gilt für n > 1:

n! < ((n+1)/2)^n <=> ln(n!) < n ln( (n+1)/2 )


Nun ist:

ln(n!) = sum(ln(k),k=1,n) = n (sum( ln(k)/n ,k=1,n) )

Da ln streng konkav ist, gilt nach der Ungleichung von Jensen:

n (sum( ln(k)/n ,k=1,n) ) < n ln( sum( k/n ,k=1,n) ) = n ln( (n+1)/2)
Wobei im letzten Schritt die Gauß-Summe verwendet wurde.

Es geht auch elementar; man kann sich nämlich überlegen, dass für n>=6 schon der Summand für k=0, also n^n/n!\., größer als 2^n ist, mit Induktion nach n. Dabei macht man im Induktionsschritt von der Tatsache Gebrauch, dass für n\el\IN (1+1/n)^n>=2; das kann man ebenfalls mit dem binomischen Lehrsatz zeigen.

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(n!)^(1/n)= (1*2*3*...*n)^(1/n)<=(1+...+n)/n= n(n+1)/2/n=(n+1)/2, das muss man nur noch mit n potenzieren und benutzen, dass Gleichheit nur gelten würde, wenn 1=... =n, was für n>1 nicht gelten kann.