Nimmt man einmal der Einfachheit halber z_0=0 an und betrachtet eine Funktion f, die auf einer punktierten Kreisscheibe um 0 holomorph ist mit einer hebbaren Singularität in 0, deren Hauptteil H(z) aber nicht verschwindet, so erlaubt einem das, eine Funktion g auf \IC zu definieren, nämlich über jene Potenzreihe, die herauskommt, wenn man in H für z den Kehrwert 1/z substituiert. g ist ganz und wegen der Stetigkeit der Fortsetzung von f auf die volle Kreisscheibe beschränkt, sodass der Satz von Liouville greift und einen Widerspruch liefert.

Oh, nein, das war ein sprachliches Missverständnis. Die Fortsetzung von f auf die volle \(natürlich schon noch offene, ich meinte nur nicht mehr punktierte\) Kreisscheibe ist stetig und daraus kann man folgern, dass die Funktion g auf ganz \IC beschränkt ist.

Und genau das verstehe ich nicht:
Wie sieht man konkret die Beschränktheit von g ein?
Das müsste man doch nachrechnen können. Ich dachte, dass nach deiner Ausführung g(z)=sum(c_(-n)*z^n,n=0,\inf ) sein muss. Doch wieso ist g nun beschränkt?

f und sein Nebenteil sind aus Stetigkeitsgründen sicherlich auf einer genügend kleinen punktierten, offenen Kreisscheibe \(sagen wir mit Radius r\) um die 0 beschränkt, sodass auch der Hauptteil dort beschränkt sein muss. Nun ist das Bild dieser punktierten Kreisscheibe um die 0 unter der Kehrwertfunktion gerade das Äußere der abgeschlossenen Kreisscheibe mit Radius 1/r um die 0, sodass g schon einmal dort beschränkt ist. g ist aber sicher auch auf der abgeschlossenen Kreisscheibe selbst beschränkt, denn diese ist kompakt und g stetig. Damit ist g auf ganz \IC beschränkt.

1/(z-z_0)

Die Laurentreihe lautet sum(c_n*(z-z_0)^n,n=-\inf,\inf) mit einer beidseitig unendlichen Koeffizientenfolge ..., c_(-3)\., c_(-2)\., c_(-1)\., c_0\., c_1\., c_2\., ... .
Wenn die Singularität hebbar ist, ist die Funktion nach der Hebung holomorph und darstellbar als sum(c_n*(z-z_0)^n,n=0,\inf).

 Die Laurentreihe lautet sum(c_n*(z-z_0)^n,n=-\inf,\inf) mit einer beidseitig unendlichen Koeffizientenfolge ..., c_(-3)\., c_(-2)\., c_(-1)\., c_0\., c_1\., c_2\., ... .
Wenn die Singularität hebbar ist, ist die Funktion nach der Hebung holomorph und darstellbar als sum(c_n*(z-z_0)^n,n=0,\inf).