Sei \xi eine primitive p-te Einheitswurzel.
Sei L=\IQ(\xi) der p-te Kreisteilungskörper und sei \IZ_L der ganze Abschluss von L in \IZ.
Ich habe bereits gezeigt, dass \IZ_L=<1,\xi,...,\xi^(p-2)> gilt.
Nun möchte ich zeigen, dass \IZ_L noethersch ist, also dass jedes Ideal von \IZ_L endlich erzeugt ist.

In der Literatur finde ich meist folgende Argumentation:
Sei I ein Ideal von \IZ_L. Da \IZ_L ein endlich erzeugter \IZ-Modul ist, gilt dies auch für I. Dann ist I auch als \IZ_L-Modul endlich erzeugt.

Allerdings haben wir in der Algebra II gelernt:
Für einen Ring R sind die Untermoduln von R_R genau die Ideale von R.

Und wenn ich ja nur zeigen möchte, dass I als \IZ_L-Modul endlich erzeugt ist, folgt das dann nicht trivialerweise hieraus?

Meine Frage ist also:
Wieso geht man in der einschlägigen Literatur immer den ''Umweg'' über \IZ und wie schließt man überhaupt von ''I ist ein endlich erzeugter \IZ-Modul'' auf ''I ein endlich erzeugter \IZ_L-Modul''?

Sei I ein Ideal von D:=\IZ[\xi].
Ist \xi^j\el\ I für ein j\el\ \IN, so auch \xi (da \xi primitive p-te EW und I Ideal von D) und damit ist I=D.
D_D = I_D ist als D-Modul insbesondere endlich erzeugt.
Ist hingegen \xi^j\notel\ I für alle j\el\ \IN, so ist I<=\IZ.
Aber \IZ (bzw. dessen Ideale) sind noch keine D-Moduln, oder?!

Allerdings ist mir eine andere Idee gekommen, wie ich zeigen könnte, dass D:=\IZ_L=<1,\xi,...,\xi^(p-2)> noethersch ist - fern abseits von irgendwelchen Moduln...:

Sei I ein Ideal von D. Dann ist I insbesondere eine Untergruppe von (D,+). Nun ist D~=\IZ^(p-1), also insbesondere eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Untergruppen von endlich erzeugten abelschen Gruppen sind selbst endlich erzeugt, folglich ist I endlich erzeugt.

Das einzig ungute Gefühl, das mich bei diesem Beweis-Weg beschleicht, ist dass ich noch irgendeine Eigenschaft brauche, um von I als endlich erzeugter abelscher Gruppe (bzgl. +) auf I als endlich erzeugten Ring zu schließen...

Da I eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist, existieren z_1,...,z_n\el\ \IZ und x_1,...,x_n\el\ I mit y=sum(z_i*x_i,i=1,n) für alle y\el\ I.
Nun ist aber \IZ\subsetequal\ D, folglich ist y=sum(z_i*x_i,i=1,n)\el\ sum(\IZ x_i,i=1,n)\subsetequal\ sum(D x_i,i=1,n).
Es existieren also x_1,...,x_n\el\ I und w_1,...,w_n\el\ D mit y=sum(w_i*x_i,i=1,n) für alle y\el\ I, folglich ist I als Ideal von D endlich erzeugt.

I ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe
=> \exists\ x_1,...,x_n\el\ I: \forall\ y\el\ I \exists\ z_1,...,z_n\el\ \IZ mit y=sum(z_i*x_i,i=1,n).
\IZ\subsetequal\ D => y=sum(z_i*x_i,i=1,n)\el\ sum(\IZ x_i,i=1,n)\subsetequal\ sum(D x_i,i=1,n).
=> \exists\ x_1,...,x_n\el\ I: \forall\ y\el\ I \exists\ w_1,...,w_n\el\ D mit y=sum(w_i*x_i,i=1,n).
=> I ist als Ideal von D endlich erzeugt