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Nun ist A=>B \(wie auch die von Dir erwähnte Wahrheitswerttabelle zeigt, der man leicht die ref(1) disjunktive bzw. ref(2) konjunktive Normalform entnehmen kann) genau dann wahr__, wenn

\ll(1)\not\ A\or\ B

wahr__ ist und genau dann falsch__, wenn

\ll(2)\not\ (A\and\not\ B)

falsch, also

\ll(3)A\and\not\ B

wahr__ ist.



Um zu zeigen, daß A=>B wahr____ ist, reicht es daher gemäß ref(1), die Wahrheit von B oder__ die Falschheit von A zu beweisen.

Andererseits kann man gemäß ref(3) zeigen, daß A=>B falsch____ ist, indem man die Wahrheit von A und__ die Falschheit von B beweist.

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Dann kannst du eben nicht beweisen, daß es sich bei der Implikation A=>B um eine falsche Aussage handelt.

Vielleicht meinst Du aber gar keine Aussagen der Form A=>B, sondern der Form \forall\ x\el\ G_x: A(x)=>B(x). Man könnte sie umschreiben zu

(x\el\ G_x\and\ A(x)) => B(x).

Um diese Aussage als falsch zu erweisen, genügt bekanntlich die Angabe eines Gegenbeispiels. Man sucht sich dazu ein c\el\ G_x mit A(c) \(sodaß also der neue Vordersatz x\el\ G_x\and\ A(x) nach Belegung der Variablen x mit der Konstanten c zu einer wahren Aussage c\el\ G_x\and\ A(c) wird), für das der Hintersatz B(x) zu einer falschen Aussage B(c) wird.

Andererseits wird die Implikation als wahr erwiesen sein, sobald man B(x) als Tautologie nachweisen kann \(x=x wäre ein triviales Beispiel für so eine Aussageform B(x)). Alternativ dazu reicht es auch, x\el\ G_x\and\ A(x) als Kontradiktion zu entlarven, um die ganze Implikation als falsch erkennen zu können \(etwa bei G_x=\IN und A(x)<=>2x=1). Gelingt beides nicht, so wird man sich eben auf die Suche nach einem Gegenbeispiel zu begeben haben \(weil man dann vermuten wird müssen, daß der Satz falsch, also gar nicht beweisbar, sein könnte).

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Nein, das mußt Du nicht__:

Es reicht, wie schon gesagt, \(und zwar völlig unabhängig voneinander) die Wahrheit von A und__ die Falschheit von B zu beweisen, um die Falschheit der Implikation A=>B zu zeigen. Denn \not\ (A=>B) ist gleichwertig mit A\and\not\ B.

Ebenso reicht es zum Beweis der Wahrheit von A=>B aus, die Wahrheit von B oder__ die Falschheit von A zu beweisen. Denn A=>B ist mit \not\ A\or\ B äquivalent.

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A und B sind hier keine Aussagen, sondern Aussageformen A(x) bzw. B(x).
Es geht hier also genauer um die Aussage

\forall\ x\el\IR: A(x)=>B(x),

die Du durch Angabe des Gegenbeispiels c:=-3 als falsch nachgewiesen hast. Danach ist alles erledigt, ein ''zweiter Fall'' ist nicht nötig.

Um auch ein Beispiel für eine wahre Aussage zu nehmen, vertauschen wir einfach A(x) und B(x): Um

\forall\ x\el\IR: (x=3=>x^2=9)

oder auch

(x\el\IR \and\ x=3) => x^2=9

zu beweisen, kannst Du die beiden Fälle x=3 und x!=3 unterscheiden:

array(1. Fall:)__ x=3
Damit geht der Hintersatz x^2=9 in die wahre Aussage 3^2=9 über, was bereits reicht. Ob der Vordersatz x\el\IR \and\ x=3 mit 3\el\IR \and\ 3=3 in eine wahre oder eine falsche Aussage übergeht, ist ganz ohne Belang \(hier ist 3\el\IR \and\ 3=3 natürlich zufällig wahr).

array(2. Fall:)__ x!=3
Es sei also nun c\el\IR \\ menge(3).
Jetzt berufen wir uns nicht \(wie im ersten Fall) auf die Wahrheit von B(c), sondern auf die Falschheit von A(c). x\el\IR \and\ x=3 geht nach Belegen der Variablen x mit einer Konstanten c\el\IR \\ menge(3) in die offenbar falsche Aussage c\el\IR \and\ c=3 über, womit bereits beweisen ist, daß die ganze Implikation in diesem Fall 2 wahr ist. Ob B(c) wahr oder falsch ist \(hier kann c^2=9 auch sowohl wahr \- für c=-3 \- als auch falsch \- etwa für c=0 \- sein), ist hier wieder ganz ohne Belang.