Ich sitze gerade vor folgendem Beweis: Ist (K_0,....K_n) Kreiskette und f_0 holomorphe Funktion auf K_0 und lässt sich die Ableitung f'_0 analytisch längs der Kreiskette fortsetzen, so auch f_0.

Seien g_i die Funktionen, die f'_0=:g_0 analytisch fortsetzen. Wir machen die Induktionsannahme, dass f_0 sich analytisch durch Funktionen f_0,...., f_k fortsetzen lässt, dann gilt:
f'_i-g_i ==0. für i=0,...k nach dem Identitätssatz.

Leider verstehe ich nicht auf welchem Gebiet (etwa dem Schnitt K_i mit K_i+1 i=0..?) die Funktionen übereinstimmen sollen
wer kann helfen?

die Funktionen sollen natürlich auf dem Defintionsbereich übereinstimmen. Im Grunde wird nur verwendet, dass die analytische Fortsetzung eindeutig ist.

genau das heißt das:

Du hast die Kreiskette (K_0,...,K_(n+1)) gegeben. Nun existiert nach Voraussetzung eine analytische Fortsetzung von g_0 := f'_0 längs dieser Kreiskette. Sagen wir g_i: K_i -> \IC für i=1,...,n+1.

Dann haben wir natürlich auch eine analytische Fortsetzung von g_0 längs (K_0,...,K_n). Nach Induktionsvoraussetzung hat f_0 eine analytische Fortsetzung längs (K_0,...,K_n), sagen wir f_i : K_i -> \IC. 

Wenn f_(i-1)=f_i auf K_(i-1) \cap K_i, dann auch f'_(i-1) = f'_i auf K_(i-1) \cap K_i. Wir kriegen also von g_0 eine analytische Fortsetzung durch die Funktionen f'_i für i=1,...n.